Conway y Sloane, Embalajes de esferas, retículos y grupos (SPLAG), es uno de los mejores libros de matemáticas de tipo encuesta jamás escritos. Ciertamente, extiende la discusión a los códigos de corrección de errores, aunque el tema principal son los empaquetamientos de esferas euclidianas.
La relación más importante entre los empaquetamientos de esferas y los códigos, pero no la única, es como una analogía extendida que conduce a límites y construcciones uniformemente argumentadas. Tanto la métrica de Hamming como la métrica euclidiana son métricas, y en ambos casos se está interesado en conjuntos de distancia mínima que luego se llaman códigos. Pero la analogía va más allá. El cubo de Hamming es un grupo abeliano normado, y el espacio euclidiano es un grupo abeliano normado. En ambos casos, hay un interés especial en los códigos que son subgrupos. Si un código es un subgrupo, sólo hay que comprobar la distancia mínima al vector 0. Además, recordemos la dualidad Pontryagin-Fourier: Si $A$ es un grupo abeliano localmente compacto, tiene un grupo dual $\hat{A}$ que es su grupo de caracteres. El cubo de Hamming y el espacio euclidiano son ambos canónicamente autoduales en el sentido de que $A = \widehat{A}$ . Si $C \subset A$ es un subgrupo, tiene un código dual $C^\perp$ que es mediante la definición del subgrupo $\widehat{A/C} \subset \widehat{A} = A$ . (En otras palabras, es el grupo de caracteres que son triviales en $C$ .) $C$ tiene un enumerador de pesos, que en el caso euclidiano se llama serie theta, y los enumeradores de pesos de $C$ y $C^\perp$ están relacionados por una transformación. La transformación se denomina identidad de MacWilliams en el caso de Hamming e identidad de Jacobi en el caso de Euclides. La transformación es posible gracias a otra característica común fundamental: El cubo de Hamming y el espacio euclidiano son ambos espacios métricos transitivos de 2 puntos.
Cuando un espacio métrico es transitivo en 2 puntos, existe una construcción debida a Delsarte para encontrar límites superiores en los tamaños de los códigos. La construcción es una cierta relajación de la distribución de la distancia de un código que reduce el límite a la programación lineal. Las restricciones lineales provienen del análisis armónico. Es más fácil en el caso compacto, y se explica en SPLAG en el caso Hamming y en el caso de la geometría esférica, donde se obtienen límites en los números de beso y otros empaquetamientos esféricos. El caso euclidiano de los límites de programación lineal fue desarrollado posteriormente por Henry Cohn y Noam Elkies en
En el ámbito de la construcción, la analogía es a veces más directa. Una esfera que se embala en $\mathbb{R}^n$ puede ser a la vez un subconjunto de $\mathbb{Z}^n$ y la unión de cosets de $(2\mathbb{Z})^n$ . Cuando es de esta forma, proviene de un código binario en $(\mathbb{Z}/2)^n$ . A veces, esto da lugar a los más conocidos empaquetamientos de esferas. De hecho, uno de estos casos utiliza el código Best con $n=10$ (encontrado por Marc Roelant Best). Un caso más sencillo es el $D_n$ celosía, que es el mejor embalaje cuando $n=3$ el mejor empaquetamiento en celosía cuando $n=4,5$ y se cree que es el mejor embalaje en estos dos casos. Proviene del código de paridad.
Esta transferencia de códigos se extiende a otro caso importante, los códigos sobre $\mathbb{Z}/k$ en la métrica de Lee. La métrica de Lee en $\mathbb{Z}/k$ es sólo la métrica del gráfico de un $k$ -gon, es decir, $d(a,b) = |a-b|$ si se eligen los residuos para que la respuesta sea como máximo $k/2$ . La métrica estándar de Lee en $\mathbb{Z}/k$ es el $\ell^1$ suma de las distancias Lee en los factores, pero se puede ver como una aproximación a $\ell^2$ y de nuevo elevar al caso euclidiano. Se puede obtener el $E_8$ celosía con camino con $k=4$ . $k=4$ es también por separado porque $\mathbb{Z}/4$ es isométrica con respecto a $(\mathbb{Z}/2)^2$ y esta isometría conduce a lo que se llama $\mathbb{Z}/4$ -códigos binarios lineales. (El código Best mencionado en el párrafo anterior es uno de estos códigos).
