En el análisis bayesiano de datos, los parámetros se tratan como variables aleatorias. Esto se deriva de la conceptualización subjetiva bayesiana de la probabilidad. Pero, ¿reconocen teóricamente los bayesianos que existe un valor de parámetro fijo verdadero en el "mundo real"?
Parece que la respuesta obvia es "sí", porque entonces tratar de estimar el parámetro sería casi un sinsentido. Se agradecería mucho una cita académica de esta respuesta.
Si vamos y juntamos el bayesianismo con un universo determinista (antes de que digas algo con la palabra "cuántico", sígueme la corriente y recuerda que esto no es physics.stackexchange) obtenemos algunos resultados interesantes.
Hacer explícitas nuestras suposiciones:
Ahora bien, el universo determinista puede ser uno en el que los átomos son pequeñas bolas de billar newtonianas. Puede ser completamente no cuántico. Digamos que lo es.
El agente lanza ahora una moneda justa. Piensa en eso por un segundo, ¿qué constituye una moneda justa en un universo determinista? ¿Una moneda que tiene una proporción de probabilidad del 50/50?
Pero es determinista. Con la suficiente potencia de cálculo se puede calcular exactamente cómo caerá la moneda, simplemente simulando un modelo de moneda lanzada de la misma manera.
En un universo determinista una moneda justa sería un disco de metal con densidad uniforme. Ninguna fuerza le obliga a pasar más tiempo con una cara hacia abajo que con la otra (piense en cómo funcionan los dados ponderados).
Así que el agente lanza una moneda justa. Sin embargo, el agente no es lo suficientemente poderoso. No tiene ojos lo suficientemente agudos para medir cómo gira la moneda al lanzarla, sólo ve un borrón.
Y entonces dice "Esta moneda saldrá cara con un 50% de probabilidad". La falta de información lleva a las probabilidades.
Podemos observar el espacio de fase de cómo se lanza una moneda. Se trata de un gran sistema de coordenadas multidimensional con ejes relativos a la dirección del lanzamiento, la fuerza del lanzamiento, el giro de la moneda, la velocidad y la dirección del viento, etc. Un único punto en este espacio corresponde a un único lanzamiento posible de la moneda.
Si le pedimos al agente de antes que coloree el sistema de coordenadas con un gradiente de escala de grises correspondiente a la asignación del agente de la probabilidad de salir cara para cada lanzamiento dado, la mayoría lo coloreará todo de un tono gris uniforme.
Si poco a poco le damos ordenadores internos más potentes con los que calcular las probabilidades de las cabezas, será capaz de hacer coloraciones cada vez más discernibles. Cuando finalmente le demos el ordenador interno más potente, haciéndolo omnisciente, pintará efectivamente un extraño tablero de ajedrez.
Las monedas justas no están hechas de probabilidades, sino de metal. Las probabilidades sólo existen en las estructuras computacionales. Eso dice el bayesiano.
No estoy seguro de que sea una pregunta relevante porque requiere más definición de la que requieren las propias matemáticas. Como las propias matemáticas no lo requieren, no estoy seguro de que preguntar qué interpretación bayesiana es correcto tiene mucho significado.
Imagina dos universos paralelos. Son idénticos en el sentido de que la secuencia de acontecimientos físicos en ambos universos se desarrolla de la misma manera.
En otras palabras, del espacio muestral $\chi$ El Universo, $U\subset\chi$ es el mismo en todos los aspectos, $U_1=U_2$ .
Ahora, en el Universo Uno, todo observador cree que la Naturaleza dibuja puntos fijos, $\theta_0$ del espacio de los parámetros al inicio del tiempo, $t=0$ . Estos puntos fijos son $\theta_0\subset\Theta$ . Un observador denominado $i$ , explica su incertidumbre inicial sobre su ubicación con una distribución de probabilidad, $\pi_i(\theta_0)$ y al ver los datos $X_i\subset{U}$ revisa su incertidumbre para $\pi(\theta_0|X_i)$ .
Ahora, en el Universo Dos, todos los observadores creen que la Naturaleza dibuja valores para los parámetros, $\theta_t$ de una distribución que se cree aproximada por $\pi_i(\theta_t)$ en el momento $t=\tau,$ que es cuando el observador $i$ recoge los datos. Los sorteos son aleatorios. Esto difiere del concepto de heteroscedasticidad o de variables estacionarias. Esta persona definiría cualquiera de los dos de manera diferente. Al ver los datos $X_\tau\subset{U}$ en el momento $\tau,$ utilizan esta información adicional para mejorar la descripción de esa distribución de $\theta_t$ a $\pi_i(\theta_t|X_\tau)$ .
Tenga en cuenta que en el segundo caso, no es realmente útil aportar definiciones frecuentistas de cosas como series temporales, heteroscedasticidad o variables estacionarias porque sus ideas se basan en puntos fijos. Además, no hay nada en el Universo Dos que prohíba que la distribución sea una función Delta de Dirac. Sin embargo, tampoco hay nada que impida que una variable a priori en el Universo Uno sea una función Delta de Dirac. $\theta_0$ .
Si se elimina la innecesaria notación subsidiaria, se obtiene $\pi(\theta|X)\propto\pi(\theta)f(X|\theta)$ .
Las matemáticas no proporcionan ningún mecanismo para poder distinguir un mundo con parámetros fijos pero inobservables y un mecanismo para describir esa incertidumbre de un mundo en el que los parámetros son realmente variables aleatorias.
¿Cuál es? ¿Quién lo sabe?
Que los métodos frecuentistas en algún sentido "funcionen", tampoco proporciona una solución. No hay nada en los conjuntos contables aditivos que los haga mejor que los conjuntos finitamente aditivos. Es cierto que hay casos de uso en los que sólo podría funcionar un método de hipótesis nula o sólo un método bayesiano. No son el caso general.
Curiosamente, en ese puñado de casos en los que sólo se puede pensar en un método adecuado, el problema no se resuelve.
Por ejemplo, si el elemento crítico de su método se reduce a un agudo hipótesis nula como $$H_0:\beta_1,\beta_2,\dots\beta_k=0$$ depende de un matemáticas acondicionamiento de esos parámetros a cero, como si fuera el verdadero punto fijo. La naturaleza no está obligada a escuchar. De hecho, si la naturaleza dibujara a veces parámetros en su lugar y provocara falsos positivos o negativos, el método no podría saberlo.
Del mismo modo, si el elemento crítico de su método es el establecimiento de probabilidades de juego, no hay forma de distinguir ninguno de los dos mundos. Hay que utilizar un método bayesiano, pero cualquiera de las dos conceptualizaciones funcionará bien.
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