En el análisis bayesiano de datos, los parámetros se tratan como variables aleatorias. Esto se deriva de la conceptualización subjetiva bayesiana de la probabilidad. Pero, ¿reconocen teóricamente los bayesianos que existe un valor de parámetro fijo verdadero en el "mundo real"?
Parece que la respuesta obvia es "sí", porque entonces tratar de estimar el parámetro sería casi un sinsentido. Se agradecería mucho una cita académica de esta respuesta.
En mi opinión, ¡sí! He aquí una de mis citas favoritas de Greenland (2006: 767):
A menudo se dice (incorrectamente) que "los parámetros se tratan como fijos por el frecuentista, pero como aleatorios por el bayesiano". Para los frecuentistas para los frecuentistas y los bayesianos, el valor de un parámetro puede desde el principio o puede haberse generado a partir de un mecanismo físicamente aleatorio. aleatorio. En cualquier caso, ambos suponen que ha tomado algún valor fijo valor fijo que nos gustaría conocer. El bayesiano utiliza la probabilidad formal para expresar la incertidumbre personal sobre ese valor. El La "aleatoriedad" de estos modelos representa la incertidumbre personal sobre el valor del parámetro. valor del parámetro; no es una propiedad del parámetro (aunque deberíamos esperar que Aunque esperamos que refleje con exactitud las propiedades de los mecanismos que que produjeron el parámetro).
Greenland, S. (2006). Perspectivas bayesianas para la investigación epidemiológica: I. Fundamentos y métodos básicos. Revista Internacional de Epidemiología , 35(3), 765-774.
La concepción bayesiana de una probabilidad no es necesariamente subjetiva (véase Jaynes). La distinción importante aquí es que el bayesiano intenta determinar su estado de conocimiento respecto al valor del parámetro combinando una distribución a priori para su valor plausible con la probabilidad que resume la información contenida en algunas observaciones. Por lo tanto, como bayesiano, diría que estoy contento con la idea de que el parámetro tiene un valor verdadero, que no se conoce con exactitud, y el propósito de una distribución posterior es resumir lo que sé sobre sus valores plausibles, basándome en mis suposiciones previas y en las observaciones.
Ahora, cuando hago una maqueta, la maqueta no es la realidad. Así que en algunos casos el parámetro en cuestión sí existe en la realidad (por ejemplo, el peso medio de un wombat) y en otros no (por ejemplo, el verdadero valor de un parámetro de regresión - el modelo de regresión es sólo un modelo del resultado de las leyes físicas que rigen el sistema, que en realidad puede no ser capturado completamente por el modelo de regresión). Por lo tanto, afirmar que existe un único valor fijo de los parámetros en el mundo real no es necesariamente cierto.
Por otro lado, yo sugeriría que la mayoría de los frecuentistas dirían que hay un valor verdadero para la estadística, pero tampoco saben cuál es, pero tienen estimadores para él e intervalos de confianza en sus estimaciones que (en cierto sentido) cuantifican su incertidumbre con respecto a la plausibilidad de los diferentes valores (pero la concepción frecuentista de una probabilidad les impide expresarlo tan directamente).
En cuanto a su punto principal, en Análisis bayesiano de datos (3ª ed., 93), Gelman también escribe
Desde la perspectiva del análisis bayesiano de datos, a menudo podemos interpretar las estimaciones puntuales clásicas como resúmenes posteriores exactos o aproximados basados en algún modelo de probabilidad completo implícito. En el límite de un gran tamaño de muestra, de hecho, podemos utilizar la teoría asintótica para construir una justificación bayesiana teórica para la inferencia clásica de máxima verosimilitud.
Así que quizá no sean los bayesianos los que deban "admitir" que hay, en verdad, valores de parámetros reales únicos, sino los frecuentistas los que deban apelar a la estadística bayesiana para justificar sus procedimientos de estimación. (Lo digo con la lengua en la boca).
Por otra parte, me opongo a la afirmación general de que la estadística bayesiana se basa en la probabilidad subjetiva, y a la implicación de que Bayes es subjetivo mientras que otros paradigmas inferenciales no lo son. Ese es ciertamente un argumento que se puede plantear, quizás también incluyendo la perspectiva del argumento de la "coherencia de las apuestas", pero véase Gelman que aquí define "bayesiano" como un estadístico que utiliza la distribución posterior $\Pr(\theta|y)$ y aquí donde argumenta contra las definiciones demasiado restrictivas.
Pero la idea de que hay parámetros únicos en la naturaleza o en los sistemas sociales es sólo una suposición simplificadora. Puede haber algún proceso adornado que genere resultados observables, pero descubrir ese sistema es increíblemente complicado; suponer que hay un único valor de parámetro fijo simplifica el problema de forma espectacular. Creo que esto es el núcleo de tu pregunta: Los bayesianos no deberían "admitir" que hacen esta simplificación más de lo que deberían hacerlo los frecuentistas.
¿Cree que existe un único "parámetro fijo verdadero" para algo como la contribución del consumo de leche al crecimiento del niño? ¿O para la disminución del tamaño de un tumor en función de la cantidad de sustancia química X que se inyecta en el cuerpo de un paciente? Elija cualquier modelo con el que esté familiarizado y pregúntese si realmente cree que existe un valor verdadero, universal, preciso y fijo para cada parámetro, incluso en teoría.
Ignora el error de medición, simplemente mira tu modelo como si todas las mediciones fueran perfectamente exactas e infinitamente precisas. Teniendo en cuenta tu modelo, ¿crees que cada parámetro tiene de forma realista un valor puntual específico?
El hecho de que tengas un modelo indica que te estás dejando algunos detalles. Tu modelo tendrá cierta imprecisión porque estás promediando los parámetros/variables que has omitido para hacer un modelo, una representación simplificada de la realidad. (Del mismo modo que no se hace un mapa del planeta a escala 1:1, con todos los detalles, sino un mapa a escala 1:10000000, o una simplificación similar. El mapa es un modelo).
Dado que está promediando a través de las variables omitidas, los parámetros de las variables que incluya en su modelo serán distribuciones, no valores puntuales.
Eso es sólo una parte de la filosofía bayesiana -ignoro la incertidumbre teórica, la incertidumbre de las mediciones, los priores, etc.-, pero me parece que la idea de que sus parámetros tienen distribuciones tiene un sentido intuitivo, del mismo modo que la estadística descriptiva tiene una distribución.
Pero, ¿los bayesianos reconocen teóricamente que hay un verdadero valor fijo del parámetro en el "mundo real"?
En mi opinión, la respuesta es sí. Hay un valor desconocido $\theta_0$ del parámetro y la distribución a priori describe nuestro conocimiento/incertidumbre sobre el mismo. En la modelización matemática bayesiana, $\theta_0$ se considera la realización de una variable aleatoria que sigue la distribución a priori.
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