Norma de los tensores en una variedad hermitiana

Question

En una variedad riemanniana $(M, g)$ , dada una $(l, k)$ tensor $T = T_{m_1 \ldots m_{l}} dx^{1} \otimes \ldots \otimes dx^{l}$ sabemos que su norma viene dada por $g^{m_1 n_1} \ldots g^{m_l n_l} T_{m_1 \ldots m_{l}} T_{n_1 \ldots n_{l}}$ . Si en cambio $(M, g)$ es una variedad hermitiana con un $(l, l)$ tensor $T_{m_1 \bar {p_1} \ldots m_{l} \bar p_{l}} dz^{m_1} \otimes d \bar z^{p_1} \otimes \ldots \otimes dz^{m_l} \otimes d \bar z^{p_l}$ la norma será entonces $g^{m_1 \bar{q_1}} \ldots g^{m_n \bar{q_n}} T_{m_1 \bar {p_1} \ldots m_{l} \bar p_{l}} \overline{T_{n_1 \bar {q_1} \ldots n_{l} \bar q_{l}}}$ .

Esto me confunde porque si queremos imitar la definición en el caso real querríamos $g^{m_{1} n_{1}}g^{\bar p \bar q_1} \ldots T_{m_1 \bar {p_1} \ldots m_{l} \bar p_{l}} T_{n_1 \bar {q_1} \ldots n_{l} \bar q_{l}}$ . Sin embargo, aparentemente esto no tiene sentido porque $g^{m_1 n_1} = 0$ .

¿Quizás para compararlo con el caso real hay que transformar las coordenadas en coordenadas reales?

Answer 1

Parte de su confusión puede deberse a algunas definiciones, así que permítame aclarar algunas cosas.

"En una variedad riemanniana $(M,g)$ , dado un $(l,k)$ tensor $T = T_{m_1\dots m_l} dx^1\otimes\cdots\otimes dx^l$ "

Eso no es una $(l, k)$ -tensor, es decir, un $(0, l)$ -tensor. Igualmente, en una variedad compleja, $T_{m_1 \bar {p_1} \ldots m_{l} \bar p_{l}} dz^{m_1} \otimes d \bar z^{p_1} \otimes \cdots \otimes dz^{m_l} \otimes d \bar z^{p_l}$ no es un $(l, l)$ -sino un $(0, 2l)$ -tensor.

Si $T = T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}dz^{m_1}\otimes\cdots\otimes dz^{m_k}\otimes d\bar{z}^{p_1}\otimes\cdots\otimes d\bar{z}^{p_l}$ es un $(0, k + l)$ en una variedad hermitiana, entonces el cuadrado de la norma de $T$ viene dada por

$$g^{m_1\bar{n_1}}\cdots g^{m_k\bar{n_k}}g^{q_1\bar{p_1}}\cdots g^{q_l\bar{p_l}}T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}\overline{T_{n_1\dots n_k\bar{q_1}\dots\bar{q_l}}}.$$

Esto se deduce de la definición del producto interior $\langle\cdot, \cdot\rangle$ en $(0, k + l)$ -tensoras inducidas por la métrica hermitiana. Estás viendo una métrica hermitiana como un par bilineal complejo $g$ en $TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ por lo que se obtiene una métrica sobre $T^{1,0}M$ considerando el emparejamiento $(v, w) \mapsto g(v, \overline{w})$ ; tenga en cuenta, que $g(\overline{w}, v) = g(v, \overline{w})$ como $g$ es simétrica. El emparejamiento $g$ induce emparejamientos en $T^*M\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ y $\bigotimes^{k+l}_{\mathbb{C}}T^*M\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ que también denotaré por $g$ . Con esto en mente, tenemos

\begin{align*} & \small{\langle T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}dz^{m_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes dz^{m_k}\otimes d\bar{z}^{p_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes d\bar{z}^{p_l}, S_{n_1\dots n_k\bar{q_1}\dots\bar{q_l}}dz^{n_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes dz^{n_k}\otimes d\bar{z}^{q_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes d\bar{z}^{q_l}\rangle}\\ =&\ \small{g(T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}dz^{m_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes dz^{m_k}\otimes d\bar{z}^{p_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes d\bar{z}^{p_l}, \overline{S_{n_1\dots n_k\bar{q_1}\dots\bar{q_l}}dz^{n_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes dz^{n_k}\otimes d\bar{z}^{q_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes d\bar{z}^{q_l}})}\\ =&\ \small{g(T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}dz^{m_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes dz^{m_k}\otimes d\bar{z}^{p_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes d\bar{z}^{p_l}, \overline{S_{n_1\dots n_k\bar{q_1}\dots\bar{q_l}}}d\bar{z}^{n_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes d\bar{z}^{n_k}\otimes dz^{q_1}\otimes\!\cdot\!\cdot\!\cdot\!\otimes dz^{q_l})}\\ =&\ \small{T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}\overline{S_{n_1\dots n_k\bar{q_1}\dots\bar{q_l}}} g(dz^{m_1}, d\bar{z}^{n_1})\cdots g(dz^{m_k}, d\bar{z}^{n_k})g(d\bar{z}^{p_1}, dz^{q_1})\cdots g(d\bar{z}^{p_l}, dz^{q_l})}\\ =&\ \small{T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}\overline{S_{n_1\dots n_k\bar{q_1}\dots\bar{q_l}}} g^{m_1\bar{n_1}}\cdots g^{m_k\bar{n_k}}g(dz^{q_1}, d\bar{z}^{p_1})\cdots g(dz^{q_l}, d\bar{z}^{p_l})}\\ =&\ \small{T_{m_1\dots m_k\bar{p_1}\dots\bar{p_l}}\overline{S_{n_1\dots n_k\bar{q_1}\dots\bar{q_l}}} g^{m_1\bar{n_1}}\cdots g^{m_k\bar{n_k}}g^{q_1\bar{p_1}}\cdots g^{q_l\bar{p_l}}.} \end{align*}