¿La existencia de una base mínima $(X, \tau) $ implica que se trata de un no discreto $T_1$ ¿espacio?

Question

$(X, \tau) $ sea un espacio topológico y suponga $\mathcal{B}$ es una base de $X$ para la topología $\tau$ .

Se puede demostrar que si $\tau$ definen un no discreto $T_1$ topología en $X$ entonces $X$ no puede tener una base mínima para la topología $\tau$ .es decir, para cualquier base $\mathcal{B}$ existe $\mathcal{B}'\subsetneq \mathcal{B}$ que también es una base.

Mi pregunta : Supongamos que el espacio topológico $(X, \tau) $ tal que $X$ no tiene una base mínima para la topología $\tau$ . ¿Implica esto $(X, \tau) $ un no discreto $T_1$ espacio.

Answer 1

No, hay toneladas de no $T_1$ topologías que no tienen una base mínima (y no son sólo una pequeña modificación de una $T_1$ espacio). Para un ejemplo sencillo, tomemos $\mathbb{R}$ con la topología formada por el conjunto vacío y los conjuntos $U_x=\{y\in\mathbb{R}:y>x\}$ para cada $x\in\mathbb{R}$ . Esto está muy lejos de $T_1$ (ningún subespacio con más de un punto es $T_1$ ), pero afirmo que no tiene una base mínima. En efecto, una colección de conjuntos $U_x$ forman una base si los correspondientes $x$ los valores son densos en $\mathbb{R}$ y cualquier subconjunto denso de $\mathbb{R}$ sigue siendo denso si se elimina un elemento.