El ejemplo de Dedekind de un campo cúbico $K$ para lo cual $O_K$ no tiene la forma $\mathbb Z[\alpha]$

Question

Dejemos que $\alpha$ sea una raíz de $f(X)=X^3+X^2-2X+8$ y $\beta = \frac{4}{\alpha}$ . Se puede demostrar que $O_K=\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ .

¿Cómo se establece entonces el siguiente isomorfismo de anillo $$\frac{O_K}{2O_K} \cong \mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2 \times\mathbb{F}_2\ ?$$

No podemos utilizar el criterio de Dedekind aquí, ya que $2=|O_K : \mathbb{Z}[\alpha]|$ por lo que el índice y el primo $2$ no son coprimas.

Este resultado es importante, ya que demuestra que $(2)$ está totalmente dividido y el resultado $O_K \neq \mathbb{Z}[\nu]$ para cualquier $\nu$ seguiría por Dedekind.

Podría demostrar la existencia de este isomorfismo indirectamente (después de algún cálculo/manipulación de normas de ideales) si sé que $2$ no está ramificado, pero no veo por qué esto debería sostenerse.

Answer 1

Si todo lo que necesitas es que $2$ no está ramificado, y tienes que $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha,\beta]$ entonces deberías ser capaz de demostrar que $\Delta_K=-503$ . Los primos ramificados son precisamente aquellos primos que dividen el discriminante.