¿Cuáles son los mejores ejemplos de inducción matemática disponibles en el nivel de la escuela secundaria -totalmente elemental- que hacen no implican expresiones de la forma $\bullet+\cdots\cdots\cdots+\bullet$ donde el número de términos depende de $n$ y estás haciendo la inducción en $n$ ?
Posdata tres años después: Veo que he redactado esta última parte de forma un tanto torpe. Lo dejaré ahí pero lo reformularé aquí:
--- que son no casos de inducción sobre el número de términos de una suma?
Por qué no algunas propiedades de las potencias de los números (naturales): $$\forall\,a,b,m,n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},\quad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad a^n\cdot b^n=(ab)^n.$$
Otra, que no es totalmente elemental como lo has querido decir pero creo que puede ser muy formativo en el nivel de secundaria es lo siguiente:
Si $p$ es un polinomio en la variable $x$ su grado es $\deg(p)=n\ge 1$ sus coeficientes $a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ , entonces para todos los $x_0\in\mathbb{R}$ , existe $b_0,\ldots,b_n\in\mathbb{R}$ tal que $$p(x)=\sum^n_{k=0}b_k(x-x_0)^k,\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.$$
Esto se puede demostrar muy rápidamente también sin inducción y tiene un bonito significado en el $x,y$ plano dibujado en la pizarra.
Para cualquier número de colores c y cualquier número entero dado n 1 , . . . , n c Hay un número, R ( n 1 , ..., n c ), tal que si las aristas de un gráfico completo de orden R ( n 1 , . . . , n c ) se colorean con c diferentes colores, entonces para algunos i entre 1 y c debe contener un subgrafo completo de orden n i cuyas aristas son todas de color i .
El caso de los dos colores debe ser introducido primero, por supuesto. Si los niños entienden bien este caso, pueden intentar comprender la demostración de este caso especial y luego pasar a entender el teorema general y su demostración.
Tal vez sería bueno empezar con algo que los estudiantes ya saben que es obviamente cierto. Por ejemplo, podría desarrollar una prueba inductiva de que $2n$ es siempre uniforme.
Creo que esto les facilitaría ver lo que significan el caso base, la hipótesis inductiva y los pasos inductivos.
Para el caso base mostramos que nuestras afirmaciones son válidas para el menor $n$ . En este caso es $0$ y $2(0)=0$ que es par.
Para el paso inductivo tenemos que demostrar que $2(n+1)$ es par, pero conseguimos utilizar la hipótesis inductiva: $2n$ está en paz. Entonces es sólo una cuestión de la propiedad distributiva para obtener $2n+2$ y el conocimiento común de que añadir $2$ a un número par obtiene otro número par.
Otros candidatos podrían ser cualquier cosa que se demuestre con una inducción estructural directa sobre los números de Peano.
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