Ejemplos de inducción matemática

Question

¿Cuáles son los mejores ejemplos de inducción matemática disponibles en el nivel de la escuela secundaria -totalmente elemental- que hacen no implican expresiones de la forma $\bullet+\cdots\cdots\cdots+\bullet$ donde el número de términos depende de $n$ y estás haciendo la inducción en $n$ ?

Posdata tres años después: Veo que he redactado esta última parte de forma un tanto torpe. Lo dejaré ahí pero lo reformularé aquí:

--- que son no casos de inducción sobre el número de términos de una suma?

Answer 1

1. La suma de las medidas de los ángulos interiores en un convexo $n$ -gon es $180^\circ(n-2)$ .
2. $n$ Las líneas coplanares en posición general dividen el plano en $\frac{1}{2}n(n+1)+1$ regiones
3. El número máximo de regiones obtenidas al unir $n$ puntos alrededor de un círculo mediante líneas rectas es $\frac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)$ .

Answer 2

Comprueba esto http://www.youtube.com/watch?v=oU60TuGHxe0&t=3m9s . Inducción matemática explicada sobre propiedades simples de las cadenas.

Answer 3

Creo que hemos hecho cosas que ya sabíamos para empezar, como la fórmula de los números triangulares, y luego los cuadrados. Los coeficientes del binomio también sirvieron de ejemplo. En realidad esto se desarrolló en expresiones para los coeficientes de las series de potencias y las funciones generadoras.

Hay cierta magia en descubrir estas cosas por uno mismo en lugar de que te las cuenten. Mi profesor de matemáticas me indicó la dirección correcta y me permitió descubrir...

Answer 4

A veces sin ejemplos enseñar un buen trato. Comprueba la siguiente prueba de que todos los seres humanos en la Tierra ahora mismo tienen la misma edad:

Prueba para 1: claramente, en un conjunto con una sola persona todas las personas que lo componen tienen la misma edad

Hipótesis inductiva: en todos los conjuntos con n personas tenemos que todas tienen la misma edad.

Sea A un conjunto con $n+1$ personas, digamos $A=\{a_1,...,a_n,a_{n+1}\}$ y que $A':=\{a_1,...,a_n\}$ , $A'':=\{a_2,...,a_{n+1}\}$ . La ind. hip. nos dice que todas las personas de A' tienen la misma edad y todas las personas de A'' tienen la misma edad, y como $a_2$ pertenece a ambos, entonces todos los elementos de A tienen la misma edad que $a_2$ ergo: todos los elementos de A tienen la misma edad. QED.

Answer 5

A riesgo de no ser tan claro, cualquier buen libro de matemáticas de la competencia seguro que tiene un montón de ejemplos al nivel que quieres. Aquí hay uno de Putnam and Beyond, de Gelca y Andreescu, que demuestra cómo las definiciones recursivas pueden usarse para hacer inducción:

Demostrar que cualquier función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ puede escribirse como una suma de dos funciones, cada una de las cuales es un desplazamiento de una función impar (es decir, existe algún $g,h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y $a,b \in \mathbb{R}$ tal que $g(x-a)$ y $h(x-b)$ son funciones impar y $f = g+h$ )

La prueba es la construcción de $g$ y $h$ en subintervalos crecientes de $\mathbb{R}$ con $a=0$ y $b=1$ . Sea $g(x)=x f(1)$ en $[-1,1]$ y $h(x)=f(x)-g(x)$ en el mismo intervalo. Para $n \ge 1$ dejar $h(x)= -h(2-x)$ en $(2n-1,2n+1)$ y $g(x)=f(x)-h(x)$ en el mismo intervalo. Entonces dejemos que $g(x)=-g(-x)$ en $[-2n-1,-2n+1)$ y $h(x)=f(x)-g(x)$ en el mismo intervalo.

Para demostrar que $g$ y $h$ definidos de esta manera satisfacen las propiedades requeridas utiliza la inducción. En concreto, supongamos que en cada etapa tenemos $g$ y $h$ definido en $[-2n-1,2n+1]$ con $f=g+h$ , $g$ impar, y $h(x)=-h(2-x)$ para $x \in [-2n-3,2n+1]$ . Se deduce directamente de las definiciones de $g$ y $h$ que $f=g+h$ en $[-2(n+1)-1,2(n+1)+1]$ y que $g$ sigue siendo impar y $h(x)=-h(2-x)$ para $x \in [-2(n+1)-3,2n+1]$ . Como estos intervalos cubren $\mathbb{R}$ tenemos $g$ y $h$ definido en todas partes con las propiedades deseadas.

Hay que reconocer que esto es un poco más difícil de lo que la mayoría de los estudiantes de secundaria serían capaces de resolver, pero sigue siendo totalmente elemental y con un poco de agua y dibujos podrían al menos entenderlo.