¿Cuáles son los mejores ejemplos de inducción matemática disponibles en el nivel de la escuela secundaria -totalmente elemental- que hacen no implican expresiones de la forma $\bullet+\cdots\cdots\cdots+\bullet$ donde el número de términos depende de $n$ y estás haciendo la inducción en $n$ ?
Posdata tres años después: Veo que he redactado esta última parte de forma un tanto torpe. Lo dejaré ahí pero lo reformularé aquí:
--- que son no casos de inducción sobre el número de términos de una suma?
Este es el primer ejemplo que vi de inducción, y sigo pensando que es una preciosidad.
El problema: Demostrar que un $2^n \times 2^n$ hoja de papel cuadriculado con una casilla eliminada, se puede alicatar con trominos en forma de L.
Prueba: Para el $n=1$ caso, no hay nada que probar: un $2 \times 2$ La rejilla con una caja eliminada es exactamente un L-tromino.
Para $n=2$ Considere la $4 \times 4$ de la rejilla. Se puede dividir en cuatro $2\times 2$ rejillas. La caja eliminada está en una de esas cuatro subcuadrículas, por lo que que sub-grilla puede ser cubierta con un L-tromino (es un L-tromino, más bien). ¿Qué pasa con las otras 3 sub-cuadrículas? Pon un L-tromino justo en el centro de la enorme cuadrícula, ¡que los cubre!
Ahora la parte restante de cada uno de ellos es un $2\times2$ rejilla con una caja eliminada. Os dejo que completéis la prueba y la enseñéis a los alumnos como mejor os parezca.
Las cifras anteriores proceden de Círculos matemáticos: La experiencia rusa de Dmitri Fomin, Sergey Genkin e Ilia Itenberg, en concreto el capítulo sobre Inducción que está escrito por I.S. Rubanov. En realidad, el libro no utiliza una variable $n$ , pero pide un $16\times 16$ cuadrado, luego en forma de debate entre un profesor y un alumno trabaja a través de la $2\times 2$ y $4\times 4$ y $8\times 8$ casos, hasta que sea obvio que, de hecho, hemos demostrado un teorema para cualquier $2^n \times 2^n$ ( 'Parece que tenemos una "ola de pruebas que recorren la cadena de teoremas $2\times2 \longrightarrow 4\times4 \longrightarrow 8\times8 \longrightarrow$ Es bastante evidente que la ola no se perderá ninguna declaración en esta cadena". )
Como apunte, es un libro precioso con bastante matemática no trivial apta para estudiantes de primaria y secundaria (aunque yo lo leí a finales de secundaria).
Este teorema y su demostración también se encuentran en el sitio web de Cut-the-Knot: Puzzle Tromino y La prueba inductiva de Golomb .
Mi problema de inducción favorito es el siguiente:
Considere una carretera circular larga que tiene varios depósitos de combustible a lo largo del camino. En total, los depósitos contienen la cantidad justa de combustible para que tu coche circule. Empiezas con el depósito vacío. Demuestra que siempre puedes encontrar un depósito en el que empezar para que sea posible dar toda la vuelta. (Si quieres, puedes hacer que el camino sea de un solo sentido).
Se me ocurren algunos de la cabeza:
Número de movimientos para resolver el puzzle de las Torres de Hanoi.
Factorización en primos (utiliza fuerte inducción Sin embargo, no se trata de un problema de salud, sino de un problema de seguridad.)
También utilizando la inducción fuerte, la estrategia ganadora para un juego simplificado de nim descrito en la parte inferior de esta respuesta.
Fórmula para las combinaciones, utilizando $\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$ .
Añadiré más adelante si se me ocurre alguna.
Todo tipo de cosas sobre los números de Fibonacci.
a. Muchas, muchas identidades como $F_n^2 = F_{2n}\pm1$ .
b. El número de dominós de un $2\times n$ rectángulo.
c. La fórmula de forma cerrada para los números de Fibonacci en términos de $\frac12(1+\sqrt5)$ .
Análogamente, todo tipo de cosas sobre cualquier cosa definida recursivamente.
a. Por ejemplo, dejemos que $a_0 = 2$ y $a_{i+1} = 3a_i +2$ ; demuestran que $a_i = 3^i-1$ . Es fácil inventarse esas identidades.
b. Como sugirió Brian Scott, cosas sobre árboles binarios. Muchas identidades combinatorias: ¿Cuántos árboles binarios completos hay de orden $n$ ? ¿Cuántos caminos desde la esquina superior derecha de un $n\times n$ ¿un damero en la parte inferior izquierda? ¿Cuántas formas de atar una zapatilla con $n$ ¿pares de agujeros?
c. A los estudiantes de secundaria les encanta la geometría de alta dimensión. Contar el número de vértices, aristas, etc. en un $n$ -cubo.
d. Existe una familia infinita de soluciones para $|a^2 - 2b^2| = 1$ porque $(1,0)$ es una solución, y si $(a_i, b_i)$ es una solución, entonces también lo es $(a_i + 2b_i , a_i + b_i) $ .
e. O puedes presentar lo anterior en términos de "encontremos aproximaciones racionales a $\sqrt 2$ ". Haga una tabla de $n^2$ y otra tabla de $2n^2$ . Encuentre las entradas en la tabla de la izquierda que están cerca de las entradas en la tabla de la derecha. Así se obtienen aproximaciones $\frac11, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}\ldots$ . Adivina que el próximo término es $a_i+2b_i\over a_i+b_i $ y demostrar por inducción que con esta definición, $(a_n,b_n)$ satisface la ecuación y que $a_n\over b_n$ está cerca de $\sqrt2$ .
f. Elementos consecutivos $\frac ab, \frac cd$ de la serie Farey siempre satisfacen $bc-ad = 1$ . Otras cosas relacionadas con el árbol Stern-Brocot.
Dejemos que $a_i = \langle 4, 484, 48484, \ldots\rangle$ y $b_i = \langle 8, 848, 84848, \ldots\rangle$ .
a. Demuestre que para cada $i$ , $4b_i - 7a_i = 4$
b. Sea $c_i$ sea la concatenación de $a_i$ y $b_i$ Así, por ejemplo $c_2 = 484848$ . Entonces $c_i = b_i^2 - a_i^2$ .
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