Ejercicio 24.13 de *Teoría de Conjuntos* de T. Jech

Question

Después de haber luchado a través de la mayor parte del capítulo 24 de Jech Teoría de conjuntos Estoy atascado en la última parte de la última pregunta, 24.13:

Dejemos que $I=I_{NS}$ sea el ideal no estacionario en $\omega_1$ , dejemos que $c_{\gamma}$ , $\gamma<\omega_1$ sean las funciones constantes (con valor $\gamma$ ) en $\omega_1$ y que $d(\alpha)=\alpha$ sea la función diagonal. La función $d$ es un límite superior mínimo, pero no un límite superior exacto del conjunto $\{c_{\gamma}:\ \gamma<\omega_1\}$ , en $<_I$ .

He demostrado que $d$ es un límite superior mínimo, pero no soy capaz de encontrar un $f\in\omega_1^{\omega_1}$ con $f<_Id$ tal que $c_{\gamma}<_If$ para todos $\gamma<\omega_1$ para demostrar que $d$ no es un límite superior exacto. Se agradecen las sugerencias.

Answer 1

Para demostrar que $f$ no es un límite superior exacto, hay que encontrar un $g \lt_I d$ que no está limitado por ningún $c_\gamma$ .

Utilizando el teorema de Solovay dejemos que $\{S_\alpha:\alpha \lt \omega_1\}$ sea una partición de $\omega_1$ a $\omega_1$ conjuntos estacionarios disjuntos. Entonces definamos $g(\alpha) = min \{i \le \alpha : \alpha \in S_i \}$ si existe, 0 en caso contrario.