Demuestre que "Si $\text{rank } A = k$ con $A\in R^{n\times m},\ \ m>n$ Hay un $k\times k$ submatriz con rango $k$ "

Question

¿Cómo probar el título?

Mi trabajo:

1. El título implica que existe $k$ columnas independientes en $A$ .
2. Borrar otros $m-k$ columnas.
3. Mediante una operación elemental de filas, podemos obtener una forma reducida de filas-echelones.
   Debe haber una $k\times k$ matriz de identidad. (Esto es sólo por la forma rref)
4. Así que debería existir $k \times k$ submatriz con rango $k$ .

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Sin embargo, me sigue pareciendo poco convincente que lo que obtengo es una matriz después de hacer la operación de filas, que no es realmente $A$ sí mismo.

¿Cómo debo decir más para reforzar esta prueba o utilizar otro método?

Answer 1

Después de tirar el $m-k$ columnas que no funcionan, puedes usar un argumento de dimensionalidad. Fíjate ahora que al eliminar esas $m-k$ columnas, obtenemos ahora un $n\times k$ matriz $\tilde{A}$ que es de rango $k$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que es imposible que $k >n$ desde $k \leq \min\{n,m\}$ . En el caso de que $k=n$ hemos terminado ya que $\tilde{A}$ es de rango $k$ . Si $k <n$ entonces sabemos que hay filas linealmente dependientes en nuestra matriz $\tilde{A}$ . Podemos repetir la misma operación que en el primer paso borrando un $n-k$ filas de $\tilde{A}$ .