Pruebas de cointegración y construcción de un modelo VEC

Question

Tengo 3 variables que son todas estacionarias en la diferencia de segundo orden. Quiero comprobar la cointegración utilizando el siguiente código. Si ejecuto el análisis de cointegración por pares, obtengo estos resultados:

VARselect(f1[2:3], lag.max=10)$selection ## optimal no of lags to be 7
coint=ca.jo(f1[2:3], ecdet="none", type="trace", K=7, spec="longrun")
summary(coint) ## indicates cointegrating relationship
Values of teststatistic and critical values of test:
          test 10pct  5pct  1pct
r <= 1 | 29.23  6.50  8.18 11.65
r = 0  | 75.18 15.66 17.95 23.52

Esto significa que no existe una relación de cointegración entre ellos. Si hago esto para otras variables f1[3:4] y f1[c(2,4)] entonces obtengo una relación de cointegración.

VARselect se utiliza para elegir el desfase óptimo. Para todas las variables juntas:

VARselect(f1[2:4], lag.max=10)$selection
AIC(n)  HQ(n)  SC(n) FPE(n) 
     5      5      5      4 

coint=ca.jo(f1[2:4], ecdet="none", type="trace", K=5, spec="longrun")
summary(coint)
Values of test statistic and critical values of test:
          test 10pct  5pct  1pct
r <= 2 |  0.08  6.50  8.18 11.65
r <= 1 | 14.24 15.66 17.95 23.52
r = 0  | 39.67 28.71 31.52 37.22

1. ¿Es necesario tener en cuenta todas las variables al ejecutar un VECM?

2. Es VARselect la forma correcta de elegir el retardo que se debe especificar en ca.jo ?

   Esto significaría que hay cointegración entre las variables y tengo que ejecutar un VECM. Pero, ¿cómo puedo saber cuántas relaciones de cointegración hay? Por lo que he visto $r=2$ se especificará al hacer un vecm

3. Es $r=2$ ¿la forma correcta de especificar un VECM?

   cajools(coint)
cajorls(coint, r = 2) # or use this

   ¿Es este procedimiento que estoy siguiendo una forma correcta de modelar?

Actualización 1:

4. Para 1. Creo que depende de nosotros determinar qué tipo de relación queremos examinar y luego establecer un modelo.
5. Ya es un VAR iterativo para elegir la longitud de retardo correcta.
6. No está claro: ¿entonces el rango más alto que no puedo rechazar sería 2 para el caso de 3 variables?

Actualización 2: En cuanto a la 3. Yo estaba preguntando por el f1[2:4] donde elaboré las estadísticas. Según yo, sólo hay una relación de cointegración. Así que $r=1$ en el ajuste de un VECM.

Actualización 3:

7. Como mis variables se vuelven estacionarias en el segundo orden de diferencia, ¿puedo realizar una cointegración de Johansen que funcione en I(1)? ¿O tengo que introducir la primera diferencia de mis variables para realizar la cointegración de Johansen?
8. También desde que se utiliza VARselect el desfase óptimo resultó ser 4 . Así que tengo que tomar lag=3 mientras se ejecuta un modelo de cointegración.

Answer 1

Parece que estás haciendo un análisis por pares cuando en realidad tienes tres variables. De este modo, puede pasar por alto las relaciones de cointegración que no son por pares, sino que implican a más variables. La forma estándar en la modelización de variables cointegradas es utilizar todas las variables que tienes si están integradas del mismo orden.

Ahora, para responder a sus preguntas,

1. Sí, incluya las tres variables en los modelos VAR y en las pruebas de cointegración.
2. Sí, es un método aceptable. Puede encontrarlo utilizado, por ejemplo, en Pfaff (2008), p. 149 o en el viñeta del paquete "vars" en R, p. 17.
3. Procedimiento de Johansen aplicado en la función ca.jo le ayudará a encontrar el número de vectores cointegradores. Tome el resultado de ca.jo , empezar con $r=0$ y ver si se puede rechazar la hipótesis nula de $r=0$ utilizando la estadística de la prueba y los valores críticos indicados en la salida. Si se rechaza, pase a $r=1$ y hacia arriba hasta que no se pueda rechazar. El primer rango que no puede rechazar es el número de vectores cointegradores. Si puede rechazar todos ellos, todas sus series parecen ser estacionarias.
   En general, cualquier libro de texto moderno sobre series temporales debería incluir una sección sobre las pruebas de cointegración mediante el procedimiento de Johansen; basta con seguirlo.

Actualización (para el OP actualizado)

4. Si no se tienen en cuenta las relaciones de cointegración más allá de las de par, se puede producir un sesgo de variable omitida, ya que se omitirían los términos de corrección del error asociados a los vectores de cointegración ignorados.
5. No entiendo la pregunta, lo siento.
6. Si las variables están realmente integradas, no se puede tener $r=m$ para $m$ siendo el número de series temporales del sistema. En un caso de tres variables, $r=2$ es el rango más alto; $r=3$ ya implica que las variables no están integradas para empezar.

Referencias

• Pfaff, Bernhard. Análisis de series temporales integradas y cointegradas con R. Springer Science & Business Media, 2008.
• Pfaff, Bernhard. "Modelos VAR, SVAR y SVEC: Implementación en el paquete R vars". Revista de Software Estadístico 27.4 (2008): 1-32.