Encuentra el punto de la línea $x + 4y − 7 = 0$ que está más cerca del punto $(-2, -2)$

Question

Encuentra el punto de la línea $$x + 4y 7 = 0$$ que está más cerca del punto $(-2, -2)$

Primero utilicé la fórmula de la distancia y descubrí que tenía que minimizar $$(x+2)^2 + \Big(\frac{7}{4}-\frac{x}{4}+2\Big)^2$$ Tomar el derivado me dio $$(2x+4)-\frac{7}{8}+\frac{x}{8}-1$$ La simplificación me dio $x=-1$

¿Esto es correcto?

Answer 1

La gente te da respuestas de cálculo en las que tienes que minimizar una función de distancia, pero como esto es un recto línea, dicha maquinaria no es necesaria.

Suponga que tiene un punto $P$ y una línea $l$ sin pasar por $P$ . Dibuja una línea $l'$ perpendicular a $l$ y pasando por $P$ y etiquetar la intersección de $l$ y $l'$ como $Q$ . Entonces, si $Q'$ es cualquier otro punto de la línea $l$ Puedes usar las propiedades de los triángulos para mostrar $PQ<PQ'$ . Pero esto es lo mismo que decir que $Q$ es el punto más cercano a $P$ en $l$ . Así que tenemos el antiguo teorema de que para encontrar el punto de una recta que está más cerca de un punto dado, hay que dejar caer una perpendicular.

En particular, su línea $l$ en forma de intersección de pendientes es $$y=-\frac{1}{4} x + \frac{7}{4}$$ y tiene pendiente $-\frac{1}{4}$ . La perpendicular $l'$ tendrá pendiente $4$ y queremos que se apruebe aunque $P=(-2,-2)$ . Así, $l'$ tiene la ecuación $$(y+2)=4(x+2).$$ Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones mostradas se encontrará la intersección de $l$ y $l'$ Su punto $Q$ . Ese punto será el más cercano al punto dado, sin dejar de estar en la línea dada.

También es bastante fácil encontrar el punto de una circunferencia dada que está más cerca de un punto dado que no está en la circunferencia. Pero para curvas más complicadas, tendrás que formular una función de distancia y minimizarla, y eso requerirá cálculo.

Answer 2

Rachel, ¿qué has probado? Deberías publicar dónde has fallado para que la gente esté más dispuesta a ayudarte. Quieres minimizar la función de distancia $s^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2$ donde $(x_0,y_0)=(-2,2)$ en este caso. Una vez que tenga esto $s^2$ se puede introducir la ecuación de $x$ o $y$ (de la ecuación de una recta) y minimizar su $s$ función tomando la derivada y encontrando cuando es cero. Este valor x o y se puede utilizar en su $s$ ecuación.

Answer 3

Tome un punto arbitrario de su línea, digamos $P_0 =(x, \frac{7}{4} - \frac{x}{4})$ . Queremos minimizar la distancia entre $P_0$ y $P_1 = (-2,-2)$ .

$$ \therefore d^2(P_0, P_1) = (x+2)^2 + (\frac{7}{4} - \frac{x}{4} + 2)^2 = f(x)$$

Ahora, aplica lo que has aprendido del cálculo. Por ejemplo, debes encontrar los puntos críticos. Es decir, quieres encontrar lo que es $\{ x : f'(x) = 0 \} $ . Y ya sabes qué hacer a continuación.