¿Cuándo existe la dg-lift?

Question

Dejemos que $\mathcal A$ y $\mathcal B$ sean categorías abelianas (con suficientes injectivos y productos contables) y $$F:D^+(\cal A) \rightarrow D^+(\cal B)$$ sea un functor triangulado. Me interesa saber si existe un dg-lift, es decir, un dg-funtor $$\tilde F:C^+(inj \cal A)\rightarrow C^+( inj \cal B)$$ entre las categorías dg de complejos acotados por debajo con entradas inyectivas y las habituales $Hom^\bullet$ -como morfismos, lo que induce $F$ en las categorías de homotopía. También me interesan las variantes con $D^+$ reemplazado por alguna otra subcategoría agradable de la categoría derivada, projetivos en lugar de injetivos, etc.

Ahora he oído de vez en cuando la declaración, que

"Cualquier functor que se encuentre en la práctica tiene una elevación dg-. "

Sin embargo, no conozco realmente los criterios que garantizan los ascensos de la dg, sólo conozco una receta para construir ascensos de la dg:

Primer paso: Intentar elevar F a un dg-functor $$C^+(inj \cal A)\rightarrow C^+(\cal B)$$ Este paso es a menudo, pero no siempre, obvio. Por ejemplo, funciona cuando $F$ es un functor derivado. Y no me resulta obvio, por ejemplo, si $\cal A$ es el corazón de una estructura t en $D^b(\cal B)$ y $F$ es el functor de realización: $real:D^b(\cal A)\rightarrow D^b(\cal B)$ .

Segundo paso: Esperar que las resoluciones inyectivas puedan ser elegidas de una manera agradable, dando un dg-functor $$C^+(\cal B)\rightarrow C^+(inj \cal B)$$ y componer este functor con el del paso 1. Esto debería funcionar, por ejemplo, si $\cal B$ es la categoría de módulos sobre una gavilla de k-álgebras (donde k es un campo) y tal vez no lo sea si $\cal B$ es la categoría de grupos abelianos.

¿Existen otros métodos/criterios que permitan construir dg-lifts? Me interesan especialmente las situaciones en las que el paso 1 no es obvio.

Cuáles son los ejemplos de tales funtores $F$ que hacen no tienen dg-elevadores, incluso si $\cal A$ y $\cal B$ ¿tiene suficientes injetivos/proyectos? ¿Cómo se puede probar esta afirmación?

Answer 1

La cuestión, planteada en términos de categorías abelianas, es más sutil, pero podría extender su pregunta a las álgebras diferenciales graduadas, es decir, en lugar de la categoría derivada de una categoría abeliana como la categoría de módulos sobre un anillo, considere la categoría derivada de un álgebra diferencial graduada. En este caso, el siguiente artículo proporciona un ejemplo muy explícito en el que una equivalencia de categorías derivadas no puede ser dg-lifting

Dugger, Daniel(1-OR); Shipley, Brooke(1-ILCC-MS) Un curioso ejemplo de categorías modelo trianguladas-equivalentes que no son equivalentes de Quillen. (Resumen en inglés) Algebr. Geom. Topol. 9 (2009), no. 1, 135-166.

Las categorías son las categorías derivadas de las dg-algebras $A$ y $B$ , donde $A=\mathbb{F}_p[x^{\pm 1}]$ con $x$ en grado $1$ y diferencial trivial $d=0$ y $B=\mathbf{Z}\langle x^{\pm1},e\rangle/(e^2,ex+xe-x^2)$ con $e$ y $x$ en grados $2$ y $1$ respectivamente, y el diferencial $d(e)=px$ y $d(x)=0$ . Aquí $p\in\mathbb{Z}$ es un número primo. Obsérvese que $A$ y $B$ no son conmutativos, excepto desde $A$ cuando $p=2$ y $A$ es siempre la homología de $B$ . Ambas dg-álgebras tienen la misma categoría defensiva: la categoría de $\mathbb{F}_p$ -espacios vectoriales con la identidad como functor de traslación y $3$ -secuencias exactas periódicas como triángulos exactos.

La respuesta general a su pregunta es complicada y tiene que ver con $A_\infty$ -Teoría de la obstrucción.

Si se desea ampliar aún más el tipo de categorías derivadas a considerar y permitir las categorías derivadas de espectros de anillos, el siguiente artículo ofrece un buen ejemplo de no realizabilidad de un functor que no es una equivalencia

Neeman, Amnon(1-VA) La homotopía estable como functor triangulado. Invent. Math. 109 (1992), nº 1, 17-40.

Por un lado está la categoría derivada de $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ y por otro lado la categoría derivada de $S[\frac{1}{2}]$ , donde $S$ es el espectro de la esfera.