Sobre las órbitas de una acción del subgrupo de puntos racionales

Question

Dejemos que $k$ sea un campo, $G$ un grupo algebraico afín sobre $k$ y $V$ una variedad afín irreducible sobre $k$ . Supongamos que $G$ actúa $k-$ morfológicamente en $V$ y que la acción viene dada por $(g,x) \mapsto g \cdot x$ donde $g \in G, x \in V$ . En particular, el grupo $G(k)$ de la racionalidad $k-$ puntos actúa sobre el conjunto $V(k)$ de $k-$ puntos racionales de $V$ .

Me pregunto si la siguiente afirmación es válida:

$$G(k) \cdot x = (G \cdot x) \cap V(k) \;\; \text{for each} \; x \in V(k).$$

Es decir, el $G(k)-$ órbita de un $k-$ punto racional de $V$ consiste en el $k-$ puntos racionales en su $G-$ órbita.

Observaciones.

(i) La inclusión $G(k) \cdot x \subseteq (G \cdot x) \cap V(k)$ debería estar claro.

(ii) Si $V(k)= \emptyset$ entonces la afirmación es vacuamente verdadera, por lo que podemos suponer que $V(k) \neq \emptyset$ .

(iii) La afirmación anterior es válida en el siguiente ejemplo: $G=\textbf{G}_a=\overline{k}^{\;+}$ actuando por traducciones en $V=\mathbb{A}_{\; \overline{k}}^n$ (en este caso $G(k)=k^+$ actúa por traducciones en $V(k)=\mathbb{A}_k^n$ ).

En realidad, me satisface una respuesta positiva en el caso de que $V=\mathbb{A}^n_{\;\overline{k}}$ es el $n-$ espacio afín dimensional sobre $\overline{k}$ (el cierre algebraico de $k$ ). Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es falso incluso cuando $V=\mathbb{A}^1_\mathbb{Q}$ . Por ejemplo, dejemos que $\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}$ actuar $V$ de la siguiente manera: para un $\mathbb{Q}$ -Álgebra $R$ y un elemento $r\in\mathbb{A}^1_\mathbb{Q}(R)$ y $g\in\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}(R)=R^\times$ fijamos $g\cdot r=g^2 r$ .

Observemos entonces lo siguiente. Si tomamos $1\in\mathbb{A}^1_\mathbb{Q}(\mathbb{Q})$ entonces $\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})\cdot 1=\{g^2:g\in\mathbb{Q}^\times\}\subsetneq \mathbb{Q}^\times$ . Afirmamos que la órbita teórica del esquema $O_1$ de $\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}$ actuando en $1$ es todo $\mathbb{G}_m$ . La razón es que desde $O_1\subseteq \mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}\subseteq\mathbb{A}^1_\mathbb{Q}$ es localmente cerrado basta con demostrar que $O_1(\overline{\mathbb{Q}})=\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}(\overline{\mathbb{Q}})=\overline{\mathbb{Q}}^\times$ . Pero esto está claro ya que cada elemento en $\overline{\mathbb{Q}}^\times$ es un cuadrado. Así que, $O_1(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}^\times$ .

Así que tenemos una contención adecuada $\mathbb{G}_{m,\mathbb{Q}}(\mathbb{Q})\cdot 1\subsetneq O_1(\mathbb{Q})$ .

Como señala Brian en el post enlazado se puede entender la discrepancia en términos de un grupo de cohomología. Por desgracia, lo que es este grupo de cohomología puede ser bastante complicado. Si estamos en la característica $0$ es mucho más sencillo. En concreto, si $G$ actúa sobre $V$ y $x\in V(k)$ entonces se puede entender la discrepancia entre $G(k)\cdot x$ y $O_x(k)$ como se mide por $H^1_\text{cont.}(\mathrm{Gal}(\overline{k}/k),G_x(\overline{k}))$ donde $G_x$ es el subgrupo de isotropía de $G$ correspondiente a $x$ . En nuestro caso este subgrupo de isotropía es $\mu_2$ y como se sabe de la teoría de Kummer se tiene que $H^1_\text{cont.}(\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}),\mu_2)=\mathbb{Q}^\times/(\mathbb{Q}^\times)^2$ que es precisamente la obstrucción que observamos al elaborar las cosas a mano.

La razón por la que tuvo que trabajar con $\mathbb{G}_a$ es esencialmente la siguiente: en la característica $0$ los únicos subgrupos de $\mathbb{G}_a$ son él mismo y el subgrupo trivial y ambos tienen grupos de cohomología triviales. En realidad podría ser un problema en la característica $p$ si se toma la acción $g\cdot x:=x+g^p$ .