¿Hay consecuencias no intuitivas del lema del ultrafiltro?

Question

El lema del ultrafiltro afirma que, para todo conjunto $X$ cada filtro en $X$ está contenida en un ultrafiltro en $X$ .

Sabemos que esto nos da una forma débil de elección... y también conocemos las consecuencias no intuitivas del Axioma de la Elección.

¿Existen buenos resultados "paradójicos" que se deriven del lema del ultrafiltro por sí solo? (Estoy dispuesto a aceptar la existencia de conjuntos no medibles como algo razonable, así que estoy buscando algo un poco menos intuitivo que eso).

Answer 1

La paradoja de Banach-Tarski puede demostrarse utilizando nada más que el teorema de Hahn-Banach, que a su vez es una consecuencia del lema del ultrafiltro. Así que, en lo que respecta a los "resultados paradójicos", éste es el más famoso.

Pero el Lemma del Ultrafiltro no puede demostrar lo siguiente:

1. Todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito. En particular, es posible que dicho conjunto sea un conjunto denso de reales.

2. Los números reales son hereditarios de Lindelöf, o sea que $\Bbb N$ es Lindelöf.

3. Continuidad de $f\colon\Bbb R\to\Bbb R$ en un punto $x$ es equivalente a la continuidad secuencial en $x4 (o en general entre espacios métricos).

4. Dado $X,Y\subseteq\Bbb R$ de manera que ambos $X$ y $Y$ son estrictamente menores que $\Bbb R$ en el cardenal, entonces $|X\cup Y|<2^{\aleph_0}$ .

Y muchos otros resultados extraños de consistencia sin elección son consistentes con el Lemma del Ultrafiltro.