Notación y terminología para álgebras libres con una operación binaria?

Question

Introducción a la pregunta

Contexto: Álgebra Universal

I

Definición: A $\mathtt{S}$ -es un álgebra $\langle A, succ, \bullet \rangle,$ con una operación unaria y sin identidades.

Dejemos que $\mathsf{S}(X)$ ser el libre $\mathtt{S}$ -sobre el conjunto finito $X$ . Sea $\mathrm{N} = \mathtt{S}({\emptyset})$ .

Inmediatamente tenemos elementos $x \in N$ como

$\bullet$ ,

$S(\bullet)$ ,

$S(S(\bullet))$ ,

$S(S(S(\bullet)))$ y así sucesivamente...

Estos elementos pueden etiquetarse como "cero", "uno", "dos", "tres", etc., tal y como se nombran en $\mathbb{N}$ .

II

Definición: A $\mathtt{B}$ -es un álgebra $\langle A, \circ, \bullet\rangle$ con una operación binaria, una operación nula y ninguna identidad.

Dejemos que $\mathsf{T}(X)$ ser el libre $\mathtt{T}$ -sobre el conjunto finito $X$ . Sea $\mathtt{B} = \mathtt{T}({\emptyset})$ . Inmediatamente tenemos elementos $x \in \mathtt{B}$ como

$\bullet$ ,

$\bullet \circ \bullet$ ,

$(\bullet \circ \bullet) \circ \bullet$ ,

$\bullet \circ (\bullet \circ \bullet)$ ,

$(\bullet \circ \bullet) \circ (\bullet \circ \bullet)$ ,

y así sucesivamente...

Estos elementos no tienen etiquetas comunes que yo conozca.

Pregunta

Hace $\mathtt{B}$ ¿tiene una notación existente? ¿Los elementos $x \in \mathtt{B}$ tienen nombres comunes como los elementos de $\mathtt{N}$ (y $\mathbb{N}$ ) tienen?

Prefiero la notación $\mathbb{B}$ (para binario), en parte porque parece apropiado dado el paralelismo con la definición $\mathtt{N}$ y los números naturales asociados $\mathbb{N}$ . Sin embargo pizarra ambas letras suelen estar reservadas para los "grandes jugadores" $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ con operaciones multiplicativas. También la notación $\mathbb{N}$ suele denotar la estructura completa de los números naturales con la suma y la multiplicación, no sólo el conjunto subyacente junto con una operación de sucesión y una constante.

https://en.wikipedia.org/wiki/Blackboard_bold

https://web.cecs.pdx.edu/~sheard/course/Cs163/Doc/FullvsComplete.html

Answer 1

No recomendaría $\Bbb B$ que ya se utiliza habitualmente para el álgebra booleana de 2 elementos (o para el espacio discreto correspondiente en topología).

Como se explica en el segundo enlace dado, su álgebra es el álgebra de los árboles binarios completos. Por lo tanto, si realmente necesitas una notación, puedes intentar algo como ${\Bbb T}_2$ (T para árbol y 2 para binario).