Principio de comparación para soluciones lineales de viscosidad de segundo orden

Question

Esta puede ser una pregunta embarazosa, pero ¿podría alguien decirme si tenemos un principio de comparación para la solución de la viscosidad de la siguiente ecuación

$$ \begin{cases} -\nabla\cdot A(x)\nabla u(x) + b(x)\cdot \nabla u(x) = f(x), \quad x\in \Omega \\ u(x)=g(x), \quad x\in \partial \Omega \end{cases}$$ donde $\Omega$ es un dominio acotado en $\mathbb{R}^n$ ?

En el guía del usuario de soluciones de viscosidad aunque los autores tratan ecuaciones totalmente no lineales, no me queda claro que esta simple EDP lineal tenga un principio de comparación, ya que la suposición para $$F(x,u,Du,D^2u)$$ es para que exista un $\gamma>0$ para que $$F(x,u,p,X) - F(x,v,p,X) \ge \gamma(u-v)$$ si $u>v$ .

Por favor, aclare mi ignorancia.

Answer 1

Definitivamente no es una pregunta embarazosa. La respuesta es que la comparación puede no desprenderse de la guía del usuario, pero la condición que usted indica no es el problema. La suposición más problemática es (3.14) en la guía del usuario, que requiere la regularidad de la propia EDP. Esto sólo se cumple cuando $A$ es constante (y definida positiva), y $b \in C^1$ .

Si la EDP es uniformemente elíptica ( $A \geq cI$ , $c>0$ ), entonces no es necesaria la condición que ha indicado (3.13 en la guía del usuario) para que la comparación se mantenga. La condición (3.13) se utilizó por conveniencia en la guía del usuario, y se utiliza para perturbar una subsolución a una subsolución estricta, ya que la comparación es más fácil de probar cuando una de las sub/super soluciones es estricta. Esto se incluye en la prueba del principio de comparación (en la parte de duplicación de variables) y conduce a la contradicción.

Cuando la EDP es uniformemente elíptica (y lineal), se puede hacer este paso de estricción añadiendo una función pequeña y muy convexa (como $\epsilon e^{\beta x_1}$ ) a la subsolución (como en el capítulo 6 de Evans, principio máximo clásico). Hay otros casos que se pueden manejar con otros trucos, como la ecuación eikonal $\|\nabla u\|=f$ . Hay alguna discusión sobre esto en la sección 5.C de la guía del usuario, pero no se mencionan los trucos para el paso de estricción.

Dicho esto, si la ecuación es lineal y uniformemente elíptica, y $A,b$ son suficientemente regulares, entonces las soluciones de la viscosidad son clásicas, por regularidad elíptica, por lo que se cumple el principio de comparación clásica. La teoría de las soluciones de viscosidad no se diseñó para las ecuaciones elípticas lineales (puesto que éstas ya estaban "resueltas"), por lo que no se tratan en la guía del usuario.