Calcular el número de vueltas de un triángulo

Question

Mi pregunta es sobre cómo calcular el número de vueltas de un triángulo, es decir, $$ Ind_\gamma(z) = \frac{1}{2i\pi} \int_\gamma\frac{1}{w-z}dw, $$ donde $\gamma$ es la trayectoria dada por el borde de un triángulo $\Delta \subset \mathbb C$.

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Hasta ahora lo que he hecho es calcular el valor de la función fuera del triángulo, y eso es $Ind_\gamma(z) = 0 \quad \forall z \notin\Delta$ $\;$, pero no sé cómo calcularlo dentro de $\Delta$, intuitivamente supongo que su valor es $Ind_\gamma(z) = 1 \quad \forall z \in\Delta.

Answer 1

Puedes usar Fórmula Integral de Cauchy, con $\;f(z)=1\;$, y obtener

$$\frac1{2\pi i}\oint_\Delta\frac1{w-z}dw=f(z)=1$$

y hemos terminado.

Otra forma es intentar parametrizar la curva del perímetro del triángulo, digamos: tomar el triángulo cuyos vértices son $\;(0,0),\,(0,1),\,(1,0)\;$, entonces el lado horizontal está parametrizado por $\;r(t)=t(1,0)+(1-t)(0,0)=(t,0),\,0\le t\;$, y así sucesivamente.