¿Existe una función acotada $f$ con $f'$ sin límites y $f''$ ¿limitado?

Question

¿Existe una $C^{2}$ -función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que está acotado y es tal que $f'(x)$ es ilimitado, pero $f''(x)$ ¿está acotado de nuevo? Por ejemplo, $f(x)=\sin(x^2)$ está acotado y tiene una derivada no acotada $f'(x)$ pero su segunda derivada también es ilimitada.

editar: Gracias por la gran respuesta. La razón por la que se me ocurrió esta pregunta, fue la siguiente:

Me gustaría encontrar una función continua acotada $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-(y-x)^2/2t}f(y)dy -f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2/2}(f(x+\sqrt{t}y)-f(x))dy$

NO converge uniformemente a $0$ para $t\to 0+$ . Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

No, esto no puede ocurrir. Supongamos que $f'(x)$ eran ilimitadas pero $|f''(x)| < M$ para algunos $M$ . Entonces, para cualquier $N$ podría encontrar algunos $x_n$ con $|f'(x_n)| > N$ . Por el teorema del valor medio para cualquier $y \neq x_n$ uno tiene $$|f'(y) - f'(x_n)| < M|y - x_n|$$ Así que si $y$ es tal que $|y - x_n| < {N \over 2M}$ entonces $$|f'(y)- f'(x_n)| < M {N \over 2M} = {N \over 2}$$ Desde $|f'(x_n)| > N$ Esto significa que $|f'(y)| > {N \over 2}$ y, además, por la continuidad de $f'$ , se tiene necesariamente que $f'(y)$ tiene el mismo signo que $f'(x_n)$ . Así que integrar uno tiene $$\left|f\left(x_n + {N \over 2M}\right) - f(x_n)\right| = \left|\int_{x_n}^{x_n + {N \over 2M}} f'(y)\,dy\,\right|$$ $$> \left|\int_{x_n}^{x_n + {N \over 2M}} {N \over 2}\,dy\,\right|= {N^2 \over 4M}$$ Por la desigualdad del triángulo, $|f(x_n + {N \over 2M}) - f(x_n)| \leq |f(x_n + {N \over 2M})| +|f(x_n)|$ . Así que por la ecuación anterior, al menos uno de $|f(x_n + {N \over 2M})|$ et $|f(x_n)|$ es mayor que ${N^2 \over 8M}$ . Puede hacer esto para cualquier $N$ Así que $f(x)$ debe ser ilimitado.

Answer 2

Me gustaría proponer una prueba alternativa.

Dejemos que $f \in C^2(\mathbb{R})$ y supongamos que $f$ y $f''$ están acotados; $$\lvert f(x) \rvert \le C_0, \quad \lvert f''(x) \rvert \le C_2.$$

Entonces $$\lvert f'(x)\rvert \le 2\sqrt{C_0 C_2},$$ así que en particular $f'$ está acotado.

Prueba. Fijamos $x\in \mathbb{R}$ y escribir una expansión de Taylor de primer orden de $f$ alrededor de $x$ ; $$f(x+h)-f(x)= f'(x)h+\int_{x}^{x+h} f''(t)(x+h-t)\, dt,$$

por lo que, reordenando los términos, obtenemos la estimación $$\tag{1}\lvert f'(x)\rvert \le \frac{2C_0}{\lvert h\rvert}+C_2\lvert h\rvert ,\qquad \forall h\ne 0.$$ El lado derecho alcanza su valor mínimo para $h=2\sqrt{\frac{C_0}{C_2}}$ Así que
$$\lvert f'(x)\rvert \le 2 \sqrt{C_0C_2}.$$ Con esto concluye la prueba.

Observación 1 . Martin R señala en los comentarios que el límite se puede mejorar para $$\lvert f'(x)\rvert \le \sqrt 2 \sqrt{C_0C_2}.$$

Observación 2 . Aquí utilizamos que $f$ es suave en toda la línea real. Si $f$ es suave sólo en un intervalo acotado $I$ entonces creo que el límite puede ser peor. De hecho, en la prueba podría ser que la elección de $\lvert h\rvert$ que minimiza el lado derecho de (1) no está disponible, porque $x+h$ queda fuera de $I$ . Pero no tengo un ejemplo explícito.