Grupo de unidades de un anillo topológico

Question

Estoy mirando algunas notas sobre Adeles y Ideles por Pete Clark aquí, y desconcertante durante el ejercicio 6.9 (página 6), que si el grupo de unidades de $U$ en topológico, el anillo es un subconjunto abierto, entonces multiplicativo de inversión en $U$ es continua. Me imagino que la idea es que la proyección del locus de $x y = 1$ a $R^\times$ es una tarjeta abierta, de ahí el resultado podría seguir), pero estoy viendo-tal vez estoy siendo densa.

Pete observa que esto implica que a (Hausdorff) topológica anillo cuyo subyacente anillo es un campo (supongo que esto es lo que él entiende por "topológico") tiene esta propiedad. Lo que, además, es desconcertante para mí, es que la mayoría de las fuentes que yo he mirado (por ejemplo, Wikipedia), cuando la definición topológica de campo, disponga expresamente que la inversión debe ser continuo, pero si Pete eran correctos, a continuación, que sería redundante (ya topológico anillo que es un campo que debe ser indiscreta o es Hausdorff, debido al hecho de que el cierre de $\{0\}$ es un ideal, y la inversión es trivialmente continua para la indiscreta caso).

Edit: Mirando por encima de la monografía Topológico Campos por Seth Warner, que es experto en esta área, se obtiene una fuerte sospecha de cómo los teoremas formulados que la inversión no necesita ser continua, incluso si el grupo de unidades es abierto, contrario a la afirmación de que Pete el ejercicio. (Ejemplo de declaración, pp 109-110: "Si $\mathcal{T}$ es un Hausdorff topología de anillo en un anillo conmutativo $A$ con identidad para que $A^\times$ es abierto, luego de todas las topologías de anillo en $A$ más débiles que los $\mathcal{T}$ para que la inversión es continua, existe una fuerte $\mathcal{S}$, $\mathcal{S}$ es Hausdorff, y $A^\times$ está abierto para $\mathcal{S}$.") Pero frustrante, no hay ejemplos de este (donde $\mathcal{S}$ es estrictamente más débil de lo $\mathcal{T}$)! Tal vez Google Libros corte que me fuera antes de que el punto fue alcanzado.

De todos modos, yo estaría muy agradecido si alguien me da un ejemplo de un campo con un Hausdorff topología de anillo, pero donde la inversión no es continua.

Answer 1

(Nunca he ofrecido una recompensa antes; espero que no sea mala etiqueta para publicar una solución ahora, a pesar de que técnicamente estamos en un "período de gracia". Desde entonces no ha habido ninguna actividad, que supongo que estará bien.)

Hay un contraejemplo, se sugiere en Warner libro (vinculado en la pregunta), pág. 113, que implican una topología de anillo de los números racionales $\mathbb{Q}$. Básicos de los barrios de el origen de los ideales de la $\mathbb{Z}$, es decir, subconjuntos de a $\mathbb{Q}$ de la forma $n\mathbb{Z}$ donde $n \neq 0$ es un número entero. Tomando lcm, la colección de estos conjuntos es cerrado bajo intersecciones finitas. Por lo tanto una base de la topología consta de conjuntos de la forma $q + n\mathbb{Z}$ donde $q \in \mathbb{Q}$. Que esto le da una topología de anillo (es decir, de una topología para que la resta y la multiplicación en $\mathbb{Q}$ son continuos) pueden reducir a tres comprobar fácilmente las reclamaciones (cf. Warner, teoremas 11.2, 11.3 y 11.4, páginas 78-79):

• Para cada ideal $I$ no es un ideal de a $J$ tal que $J + J \subseteq I$ $-J = J$ (obviamente $J = I$);

• Para cada ideal $I$$r \in \mathbb{Q}$, no es un ideal de a $J$ tal que $rJ \subseteq I$ (si $r = p/q$ para los números enteros $p, q$,$J = qI$);

• Para cada ideal $I$ no es un ideal de a $J$ tal que $J \cdot J \subseteq I$ (de nuevo, $J = I$ va a hacer).

Observe también que $\{0\}$ es cerrado en esta topología, porque si $q \neq 0$ y elegimos $n \in \mathbb{Z}$$|n| > |q|$, a continuación, abrir el vecindario $q + n\mathbb{Z}$ $q$ no contiene $0$.

Nota de la reciprocidad = multiplicativo de la inversión no es continua w.r.t. esta topología. De hecho, para el barrio de $1 + 2\mathbb{Z}$$1$, su imagen inversa bajo la reciprocidad es el conjunto $\{\frac1{1 + 2n}: n \in \mathbb{Z}\}$, y no abierto básicos vecindario $1 + m\mathbb{Z}$ $1$ es lo suficientemente pequeño como para caber dentro de este conjunto. Por lo tanto, hemos expuesto un contraejemplo.