El significado de los coeficientes de un polinomio cuadrático

Question

Digamos que nos dan un polinomio cuadrático $ax^2+bx+c$ . Sin el uso de las derivadas, ¿cuál es el significado de los coeficientes a la hora de graficar el polinomio?

El coeficiente $c$ determina la intersección con el eje y mediante el establecimiento de $x=0$ .

$a$ determina si el polinomio se abre hacia arriba o hacia abajo y lo "grande" que es el polinomio, sin embargo me cuesta ver por qué esto es así? Es fácil de ver si usamos derivadas, sin embargo ¿cómo se puede ver esto intuitivamente sin el uso de derivadas?

$a$ y $b$ determina la ubicación del vértice. Si $sign(a)=sign(b)$ entonces el vértice se coloca por debajo del eje x, en caso contrario se coloca por encima del eje x. Esto está claro, ya que la coordenada x del vértice viene dada por $\frac{-b}{2a}$ . Pero, ¿qué pasa con la colocación del vértice con respecto al eje y? ¿Cómo y por qué $a$ y $b$ ¿determinar esta ubicación?

Answer 1

Por el método de "completar el cuadrado", se puede cambiar la expresión dada a su correspondiente "forma de vértice", a saber $y = f(x) = a(x – h)^2 + k$ .

Entonces, el vértice ( $V$ ) se encuentra en $(h, k)$ donde $h = -b/(2a)$ y $k$ equivale a algo así como $-\triangle/(4a^2)$ , --- el residuo proveniente del proceso de completar el cuadrado.

Creo que "la colocación del vértice con respecto al eje y" se refiere al valor de k.

En la práctica, no tratamos de recordar la torpe fórmula anterior para $k$ . Desde $V = (h, k)$ es un punto en $y = f(x)$ Esto significa que $V = (h, f[h])$ . Es decir, $k$ se puede encontrar fácilmente evaluando $f(h)$ En cambio, una vez que $h$ se encuentra.