¿Por qué los operadores autoconjuntos tienen que estar definidos densamente?

Question

He estado viendo las conferencias de Schiller sobre QM y he estado repasando 'mecánica cuántica y teoría de campos cuánticos' de Dimock.

Ambos parecen asegurar que los operadores están densamente definidos, especialmente si se trata de operadores autoadjuntos.

Por qué necesitamos que estén definidos densamente, además, como los operadores autoadjuntos son cerrados, seguramente esto significa que los operadores son cerrados en todo el espacio de Hilbert.

Answer 1

Esto se debe a que el adjunto $A^*:D(A^*) \to H$ de un operador $A: D(A) \to H$ existe si $D(A)$ es denso en $H$ . A continuación, ya que $A=A^*$ si $A$ es autoadjunto, tenemos que $D(A)=D(A^*)$ es denso.

El requisito $D(A)$ denso para definir $A^*$ tiene la siguiente razón.

Por definición, tenemos ambos $$D(A^*) := \{x \in H \:|\: \langle x| Ay \rangle = \langle z_x| y\rangle, \quad \forall y\in D(A)\}\:,$$ et $$A^*x := z_x \quad \forall x \in D(A^*)\:.$$ Hay que comprobar si $A^*x$ está bien definido, es decir,

hay un único $z_x$ tal que $ \langle x| Ay \rangle = \langle z_x| y\rangle$ para todos $y\in D(A)$ .

Este es el caso si $D(A)$ es denso.

En efecto, supongamos que $ \langle x| Ay \rangle = \langle z'_x| y\rangle$ para todos $y\in D(A)$ también es válido. Como consecuencia de la linealidad del producto escalar, $$\langle z'_x-z_x| y\rangle=\langle x-x|Ay\rangle =0 \quad \forall y \in D(A)\:.$$ Desde $D(A)$ es densa, podemos encontrar una secuencia $D(A) \ni y_n \to z'_x-z_x$ dando lugar a $$||z'_x-z_x ||^2=\langle z'_x-z_x| z'_x-z_x\rangle=0\:,$$ porque el producto escalar es continuo, lo que implica $z'_x=z_x$ . Linealidad de $D(A^*) \ni \mapsto z_x$ surge fácilmente de las definiciones dadas, la antilinealidad del producto escalar en la entrada de la izquierda en particular.

Por construcción $A^*$ es cerrado (surge inmediatamente de su definición). Este hecho también implica que los operadores autoadjuntos son también cerrados.

Advertencia : $A$ no es necesariamente cerrado en todo el espacio de Hilbert pero sólo en su dominio denso. La cerrazón en todo el espacio de Hilbert implicaría que el operador está acotado debido a la Teorema del gráfico cerrado . Este no es el caso en general de la teoría cuántica.