Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto y utilizando la propiedad de Arquímedes

Question

Estoy tratando de aprender Análisis Real por mi cuenta, pero he descubierto que estoy un poco oxidado con las cosas elementales.

¿Cómo puedo resolver ecuaciones como $|x| + |x+1| = 1$ y $|x-1| + |x+1| = 2$ ? No quiero la solución completa, porque tengo la sensación de que lo que realmente busco es una propiedad del valor absoluto que no recuerdo.

Además, hay otro ejercicio, que dada la propiedad arquimediana (para cada $x \in \mathbb{R}$ hay un número $[x] \in \mathbb{Z}$ y ya saben el resto) demuestran que para $x, y \in \mathbb{R}$ x mayor que 0, entonces hay $\exists n \in \mathbb{N} : nx > y$ .

Edición: Teniendo en cuenta que la función suelo existe y sabiendo que $x \in R_+$ y $y \in R$ demostrar que hay $\exists n \in N : nx > y$ .

Answer 1

Sus preguntas sobre el valor absoluto, léase: la suma de las distancias de $x$ à $0$ y $-1$ es $1$ (así $x=-1/2$ es la opción geométrica obvia) y de forma similar la suma de las distancias de $x$ à $1$ y $-1$ es $2$ (con $x=0$ ). o puedes escribir todas las combinaciones (para la primera) $$ x+(x+1)=1, x+1\geq0, x\geq0 $$ $$ x-(x+1)=1, x+1\leq0, x\geq0 $$ $$ -x+(x+1)=1, x+1\geq0, x\leq0 $$ $$ -x-(x+1)=1, x+1\leq0, x\leq0 $$ y resolverlos, buscando soluciones en el dominio apropiado.