¿Hay algún nombre para esos elementos $x$ de un anillo conmutativo $R$ tal que $Rx$ ¿es máxima entre todos los ideales propios?

Question

Desde que aprendí la teoría básica de los anillos, siempre me he sentido algo confundido por el hecho de que:

• los ideales máximos son primos (porque todo campo es un dominio integral), pero
• los elementos irreducibles no necesitan ser primos.

Recientemente, la razón de esto se hizo evidente: el problema, en resumen, es que la irreductibilidad sólo puede "ver" los ideales principales, y por lo tanto no suele ser lo suficientemente fuerte como para implicar una primacía completa, excepto en un anillo ideal principal. En efecto:

Propuesta. Dejemos que $R$ denotan un anillo conmutativo. Entonces para todo $x \in R,$ los siguientes son equivalentes.

• $x$ es irreducible.
• $Rx$ es máxima entre todas las principal ideales.

Corolario. Dejemos que $R$ denotan una ideal principal anillo conmutativo. Entonces para todo $x \in R,$ los siguientes son equivalentes.

• $x$ es irreducible.
• $Rx$ es máxima entre todos los ideales propios.

Motivado por esta constatación, me preguntaba:

Pregunta. ¿Hay algún nombre para esos elementos $x$ de un anillo conmutativo $R$ tal que $Rx$ ¿es máxima entre todos los ideales propios?

Answer 1

Estos elementos se denominan a veces m-irreducibles o i-atómicos. En los anillos con divisores de cero, estos son realmente distintos de los elementos irreducibles. Recomiendo el artículo de D.D. Anderson y Valdez León titulado Factorización en anillos conmutativos con divisores de cero si quieres leer más. En un dominio que no es un campo, $(0)$ no es maximal entre los ideales principales (obviamente) a pesar de ser irreducible, por lo que la versión que afirmas no es del todo cierta ni siquiera en los dominios, aunque sí lo es para los elementos no nulos.

El documento que sugiero le da algunos ejemplos no triviales de todas las diversas relaciones entre las nociones de irreducible, así como ejemplos que muestran que las inclusiones inversas no son verdaderas.

Edición: He pensado en añadir el ejemplo por si la gente no puede acceder a ese documento. En $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ el elemento $(0,1)$ es primo y, por lo tanto, irreducible, pero no es máximo entre los ideales principales, ya que está correctamente contenido en $(2,1)$ .