Encontrar la solución general de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

Question

$$\frac{d^2y}{dx^2} - 14 \frac{dy}{dx} + 65y = 13 $$

Para la segunda orden,

Dejemos que $$y = e^{mx} \\ y' = me^{mx} \\ y'' =m^2e^{mx}$$

Así que,

$$m^2e^{mx} - 14 me^{mx} + 65 e^{mx} = 13\\[6pt] e^{mx}(m^2-14m+65) = 13$$

Pero no puedo resolver para conseguir m (atascado aquí)

Por favor, ayuda

Answer 1

Para los homogéneos, tenemos:

$$m^2-14 m+65 = 0 \implies m_{1,2} = 7~ \pm~ 4i$$

Esto da:

$$y_h(x) = e^{7 x} ( c_1 \sin 4 x+c_2 \cos 4 x)$$

Para el particular, elija:

$$y_p(x) = a$$

Si volvemos a introducir la ODE, encontramos $65 a = 13 \implies a = \dfrac{1}{5}$ .

Así, tenemos:

$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{7 x} ( c_1 \sin 4 x+c_2 \cos 4 x) + \dfrac{1}{5}$$