Nota específica que no me queda clara en y la derivación de la ecuación de maxwell $\oint \vec{B} \cdot d \vec{r}=\mu_{0} I_{e n c}$

Question

Sé que esta no es la ecuación completa pero ahora mismo en este camino del curso que lo que hemos aprendido hasta ahora.

Hemos estudiado que un cable a lo largo del $z$ el eje produce un campo magnético $\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho} \hat{\varphi}$

entonces para cada bucle cerrado que rodea el cable podemos escribir $$\oint \vec{B} \cdot d \vec{r}=\int \frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho} \rho d \varphi=\mu_{0} I$$

Mencionó que, el punto crítico en la prueba es que, podemos decir que el campo magnético se comporta como $\rho^{-1}$ que no me queda claro por qué es tan crítico. ¿Qué pasaría si no se comportara así?

Además escribió que si el bucle que tomamos no va a lo largo del cable, la circulación de $\vec{B}$ será igual a cero. Esto no me queda claro ni física ni matemáticamente.

por ejemplo un bucle así :

mientras que el punto negro es el cable en el origen.

Answer 1

Dada, $$\oint \vec{B} \cdot d \vec{r}=\int \frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho} \rho d \varphi=\mu_{0} I$$ Puede haber 2 razones por las que su profesor dijo que el $\rho^{-1}$ es crucial para la prueba.

1. Considera la ecuación, $\int \frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho^{n}} \rho d \varphi=\mu_{0} I$ donde n es un número real. Esto, claramente, al integrarlo da como resultado que la corriente I es directamente proporcional a $\rho^{1-n}$ que no es exactamente el caso. Puede ser relevante si una densidad de corriente no uniforme $J$ se da.
2. Es sólo un punto de alejamiento, es decir, a medida que uno se aleja del cable la intensidad del campo disminuye.

Para la segunda parte de su pregunta (el diagrama). Utilice este $$\oint \vec{B} \cdot d \vec{r}=\int \frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho} \rho d \varphi=\mu_{0} I_{enclosed}$$ Aquí se entiende la corriente neta que entra o sale del bucle dado. Digamos que tienes 5 cables y una espira circular alrededor, si dos llevan corriente $i$ a lo largo del eje +z y 3 llevan $2i$ corriente a lo largo del eje - z entonces la red $I_{enclosed}= 2*i - 3*2i= -4i$

Análogamente, en este caso la espira no encierra ninguna corriente, y por tanto habrá un valor nulo para la circulación de B.

Matemáticamente, si se considera la prueba anterior de que, si un cable produce el campo magnético $$\frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho}$$ también puede tomar la circulación manualmente. Es decir, $$\oint \vec{B} \cdot d \vec{r}=\int\frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho_{1}}*\rho_{1}d\theta+0-\int\frac{\mu_{0} I}{2 \pi \rho_{2}}*\rho_{2}d\theta+0=0$$

Aquí $\rho_{1},\rho_{2}$ son las distancias radiales de cada parte de la porción circular del cable en el diagrama.

Answer 2

No entiendo muy bien lo que te decía tu instructor, pero como el campo debido al cable es $\propto 1/\rho$ al integrar a lo largo de un hipotético bucle de Ampère alrededor del cable, el factor de $dr = \rho \, d\varphi$ anula el $1/\rho$ del campo, dejando la integral trivial $\int_\text{loop} \, d\varphi$ detrás, junto con algunos factores constantes. En cuanto a la razón por la que $B \propto 1/\rho$ que tiene que ver con la naturaleza de los campos magnéticos en general (específicamente $\nabla \times \textbf{B} = \mu_0 \textbf{J}),$ que permite derivar la ley de Ampère en primer lugar. La ley se puede utilizar para obtener el campo alrededor de geometrías simples, como el cable largo que transporta la corriente en su pregunta.

Se me ocurre que tu instructor podría haber derivado el campo debido al cable usando algo distinto a la ley de Ampère y estaba tratando de mostrar que la ley de Ampère funciona, usando el cable como ejemplo. En efecto, se puede derivar mismo utilizando la fenomenología Ley Biot-Savart , que si bien es diferente a la ley de Ampère, se puede demostrar que es coherente con ella . Espero que esto aclare sus dudas.