¿Infinitamente diferenciable función con dado cero conjunto?

Question

¿Para cada % de conjunto cerrado $A\subseteq\mathbb{R}$, es posible construir una función real continua $f$ tal que el cero, $f^{-1}(0)$, $f$ es precisamente $A$, y $f$ es infinitamente diferenciable en todas $\mathbb{R}$?

¡ Gracias!

Answer 1

De hecho es cierto para un subconjunto cerrado $A$$\mathbb R^d$. Si $A=\complement_{\mathbb R^d}B(x_0,r)$, luego pusimos $f(x)=\mathbf 1_{B(x_0,r)}\exp\left(\frac 1{||x-x_0||^2-r^2}\right)$. Para el caso general, $A$ es una contables intersección de complemento de abrir las bolas, es decir,$A=\bigcap_{n\in\mathbb N}A_n$. Deje $f_n$ que trabaja para todas las $n$. Desde $f_n\geq 0$, poniendo a $f=\sum_{n\in\mathbb N}a_nf_n$ sólo tenemos que elegir a $a_n>0$ tal que la serie (y sus derivados) converge para la topología de $C^{\infty}(\mathbb R^d)$. Ponemos $$a_n=\begin{cases} \frac 1{2^k}\left(\sum_{|\alpha|\leq n}\sup_{|x|\leq n}|\partial^{\alpha}f_n(x)|\right)^{-1}&\mbox{ if }\sum_{|\alpha|\leq n}\sup_{|x|\leq n}|\partial^{\alpha}f_n(x)|\neq 0;\\\ \frac 1{2^k}&\mbox{otherwise.}\end{casos}$$ Podemos comprobar que para todo compacto $K$ $\mathbb R^d$ $\alpha\in\mathbb N^d$ la secuencia de $\sum_n a_nf_n$ es convergente. Tome $N$ tal que $K\subset B(0,N)$ $|\alpha|\leq N$ \begin{align*} \sup_{x\in K}\left|\partial^{\alpha}\left(\sum_{j=0}^{n+m}a_jf_j-\sum_{j=0}^na_jf_j\right)\right|&=\sup_{x\in K}\left|\sum_{j=n+1}^{n+m}a_j\partial^{\alpha}f_j\right|\\ &\leq \sum_{j=n+1}^{n+m}a_j\sup_{|x|\leq N}|\partial^{\alpha}f_j|, \end{align*} y $a_j\sup_{|x|\leq N}|\partial^{\alpha}f_j|\leq 2^{-j}$, por lo que podemos concluir.

Answer 2

El conjunto abierto ${\mathbb R} \backslash A$ es la unión de más de countably muchos intervalos de $J_k$, de los cuales en la mayoría de los dos son sin límites. Deje $f_k$ $C^\infty$ "bump", función que es positivo en $J_k$ $0$ en todas las demás. Si $J_k$ es ilimitado, voy a exigir que $f_k$ es constante fuera de algunos intervalo acotado. Tome $f(x) = \sum_k c_k f_k(x)$ donde $c_k > 0$ es lo suficientemente pequeña para que $|c_k f_k^{(j)}(x)| < 2^{-k}$ $0 \le j \le k$ y todos los $x$. A continuación, cada una de las series $\sum_k c_k f_k^{(j)}(x)$ converge absoluta y uniformemente para todos los $x$, de modo que su suma es$f^{(j)}(x)$$f$$C^\infty$.

Answer 3

Sí, puede leer una prueba en la página 43 de estas notas: http://www.math.ru.nl/~mueger/diff_notes.pdf (lema IV.1.2).

Sin embargo, esa prueba es para el caso más general de una función suave $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$, así que tal vez que alguien puede sugerir una prueba más elemental para $n=1$.