Grupo fundamental como grupo topológico

Question

Antecedentes

Dejemos que $(X,x)$ sea un espacio topológico punteado. Entonces el grupo fundamental $\pi_1(X,x)$ se convierte en un espacio topológico: Dotar al conjunto de mapas $S^1 \to X$ con la topología compacta-abierta, dotar al subconjunto de mapas que mapean $1 \to x$ con la topología del subespacio, y finalmente utilizar la topología del cociente en $\pi_1(X,x)$ . Esta topología es relevante en algunas situaciones. Un artículo muy interesante que trata de esta topología es:

[1] Daniel K. Biss, A Generalized Approach to the Fundamental Group, The American Mathematical Monthly, Vol. 107

Puede encontrar esto en línea . Esto es de alguna manera una introducción a

[2] Daniel K. Biss, The topological fundamental group and generalized covering spaces , Topology and its Applications, Vol. 124

Pregunta

¿Cómo podemos demostrar que $\pi_1(X,x)$ ¿es un grupo topológico? Es evidente que el mapa de inversión $\pi_1(X,x) \to \pi_1(X,x)$ es continua, ya que $S^1 \to S^1, z \mapsto \overline{z}$ es continua e induce este mapa. Pero no sé cómo atacar la continuidad de la multiplicación. No es difícil ver que la multiplicación en $map((S^1,1),(X,x))$ es continua, ya que es inducida por un mapa de pliegue $S^1 \to S^1 + S^1$ . Para llevar esto a $\pi_1(X,x)$ Hay al menos dos problemas con los que me encuentro:

• El mapa de cociente $map((S^1,1),(X,x)) \to \pi_1(X,x)$ puede no estar abierto.
• El producto de los mapas de cociente $map((S^1,1),(X,x))^2 \to \pi_1(X,x)^2$ puede no ser un mapa cociente.

En [1] se afirma que $\pi_1(X,x)$ es siempre un grupo topológico, y esto debería demostrarse en [2], pero no tengo acecss a [2].

Un ejemplo de que los productos de los mapas cotizados no tienen por qué ser mapas cotizados lo encontramos en aquí . No obstante, hay que tener en cuenta que esto es cierto en la categoría de espacios generados de forma compacta.

Answer 1

La respuesta de Andrew es correcta, pero voy a hacer algunos comentarios, ya que los invariantes de homotopía "topológicos" son de gran interés para mí. Aquí Paul Fabel ha demostrado que $\pi_{1}^{top}$ en el pendiente hawaiano no es un grupo topológico. Resulta que la multiplicación puede dejar de ser continua incluso para algunos espacios razonablemente agradables (como los continuos planares localmente simplemente conectados). Esto y una bonita conexión con los grupos topológicos libres aparecen en un manuscrito que acabo de publicar en arXiv (quizás una autopromoción descarada... pero publicaré el enlace cuando esté disponible).

Este error del mapa cociente ha aparecido en muchos lugares de la literatura, incluso en un apéndice de Peter May de los años 70 que describía el groupoide fundamental topológico (dando a cada hom-set la topología cociente de los espacios de trayectoria de Moore de punto final fijo). La misma afirmación falsa de que los productos de los mapas cotizantes son de nuevo mapas cotizantes se utilizó también para "demostrar" que los grupos topológicos superiores de homotopía son grupos topológicos.

Con esta topología de cociente, el grupo fundamental topológico(oid) es discreto en los espacios que tienen coberturas universales (son conectados por trayectorias, localmente conectados por trayectorias y semilocalmente conectados). Cuando no es discreta, esta topología suele ser difícil de tratar. Al fin y al cabo... va a haber muchos bucles homotópicos que identificamos en el cociente pero que "no se parecen en nada" en el espacio.

Aunque no siempre tenemos un grupo topológico, no estamos completamente desamparados. $\pi_{1}^{top}(X)$ es siempre un grupo cuasitopológico en el siguiente sentido:

definición: Un grupo cuasitopológico es un grupo $G$ con topología tal que la inversión es continua y la multiplicación $G\times G\rightarrow G$ es continua en cada variable.

Una teoría básica de estos objetos se puede encontrar en "Grupos Topológicos y Estructuras Relacionadas" algunos de los cuales se pueden conseguir en google books.

Editar: El grupo fundamental topológico y los grupos topológicos libres es el nuevo documento que mencioné. Es un poco más denso que el de la respuesta de Andrew, pero si alguien está lo suficientemente interesado como para leerlo, agradecería mucho cualquier comentario, sugerencia o corrección.

Answer 2

Actualización : Una pequeña persecución de papeles digitales me llevó, vía La tesis de David Robert (nótese que en la última versión, lo más relevante es el capítulo 5, sección 2), a este documento en el arXiv. La última frase del resumen es:

Estos espacios de aros proporcionan una clase sencilla de contraejemplos a la afirmación de que $\pi_{1}^{top}$ es un functor a la categoría de grupos topológicos.

Recomiendo la lectura de este artículo.

( Añadido más tarde : En caso de que no esté claro, el autor de ese documento es Jeremy Brazas, que añadió una respuesta después, por lo que si vota por mi respuesta, debería definitivamente votar por el suyo)

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Respuesta original : Estos fueron mis pensamientos iniciales antes de encontrar las referencias anteriores. Esto fue lo que me hizo estar lo suficientemente intrigado como para perseguir el papel y encontrar la tesis y el artículo mencionados.

La prueba dada en el segundo artículo (de Biss) que se menciona en la pregunta es lo suficientemente corta como para que me parezca razonable copiarla aquí. No voy a copiar el diagrama obvio, así que necesito establecer alguna notación primero:

1. $m \colon \pi_1^{Top}(X,x) \times \pi_1^{Top}(X,x) \to \pi_1^{Top}(X,x)$ es el mapa de multiplicación en cuestión
2. $p \colon \operatorname{Hom}((S^1,1),(X,x)) \to \pi_1^{Top}(X,x)$ es el mapa cociente
3. $\overline{m} \colon \operatorname{Hom}((S^1,1),(X,x)) \times \operatorname{Hom}((S^1,1),(X,x)) \to \operatorname{Hom}((S^1,1),(X,x))$ es el mapa de multiplicación "de arriba". (Es una tilde en el original, pero eso no se muestra correctamente para mí, así que no me atrevo a usarlo).

A continuación, se procede a la prueba:

Para demostrar que $m$ es continua, basta con demostrar que $\overline{m}$ es continua, pues entonces si $U \subset \pi_1^{Top}(X,x)$ está abierto, $(p \times p)^{-1} m^{-1}(U) = \overline{m}^{-1}p^{-1}(U)$ es abierto, pero por la definición de un mapa cociente, $(p \times p)^{-1} m^{-1}(U)$ es abierto si y sólo si $m^{-1}(U)$ es.

A continuación se demuestra que $\overline{m}$ es continua, un hecho que confío en que no necesita ser demostrado.

Comentarios sobre sus observaciones:

1. No necesitamos que el mapa de cociente sea abierto, ya que sólo tratamos con conjuntos de preimágenes. Ciertamente, no siempre es cierto que si $q \colon X \to Y$ es un cociente que $q(U)$ está abierto en $Y$ por cada uno abierto $U$ en $X$ . Pero es cierto por definición que $q^{-1}(U)$ está abierto en $X$ si y sólo si $U$ está abierto en $Y$ . Esto se debe a que la topología en $Y$ es precisamente eso para que esto sea cierto. Por lo tanto, como sólo se trata de conjuntos de la forma $(p \times p)^{-1}(A)$ entonces la afirmación es válida asumiendo que $p \times p$ es un mapa cociente .

2. Aquí, me encuentro preocupado. Una rápida comprobación parece mostrar que no se puede asumir simplemente que el producto de cocientes es de nuevo un cociente en Top (se me escapa un contraejemplo porque no tengo Contraejemplos en topología a mano y estoy demasiado acostumbrado a tratar con espacios "bonitos"). Es puede sea el caso que para Hom-espacios entonces hay alguna magia que se puede hacer (aunque tal no se menciona en el papel); pero de nuevo lo mejor que puedo hacer en la parte posterior de un sobre es observar que (modulo algún lío de punto base) por la construcción $\operatorname{Hom}((S^1,1),(X,x)) \times \operatorname{Hom}((S^1,1),(X,x))$ cocientes a $\pi_1^{Top}((X,x) \times (X,x))$ . Pero para proceder, habría que saber que $\pi_1^{Top}$ era un functor preservador del producto. Esto es moralmente lo mismo que decir que es representable - lo cual parece bueno ya que tenemos un objeto de representación obvio $S^1$ ¡! Sin embargo, esto no se puede convertir en un argumento adecuado, ya que aunque tenemos un objeto de representación no tienen un Hom-functor enriquecido $hTop \times hTop \to Top$ que evaluar en $S^1$ .

Así que yo buscaría un contraejemplo de que el producto de cocientes es un cociente, y vería a dónde te lleva. O bien encontrarás un contraejemplo adecuado a la proposición en cuestión, o verás por qué en este caso especial , tal contraejemplo no podría ocurrir.

(Por supuesto, es posible que se me escape algo obvio).

Answer 3

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y sea $a$ sea un punto de $X$ . Hay tres topologías interesantes en $\pi_1(X,a)$ : la topología del cociente topología de la topología de convergencia compacta, y otras dos que me permitirán llamar admisible y adecuada.

En las tres topologías, las clases de subgrupos normales abiertos coinciden; Además, son simultáneamente Hausdorff (o no).

1) Como se observa, la topología de convergencia compacta no es una topología de grupo, aunque la multiplicación es continua por separado.

2) Digamos que un subgrupo $H$ de $\pi_1(X,a)$ es admisible si, cualquier $b\in X$ tiene un barrio $V$ tal que para cualquier clase de camino $\gamma\in\pi(X,a,b)$ (groupoide fundamental) y cualquier bucle $c$ en $V$ con sede en $b$ , $\gamma c \gamma^{-1}$ pertenece a $H$ .

Hay un único topología de grupo en $\pi_1(X,a)$ tal que los subgrupos normales admisibles forman una base de vecindades de la identidad. Para esta topología, los subgrupos abiertos son los subgrupos admisibles.

Si $X$ es localmente conectado por arcos, entonces un subgrupo es admisible si y sólo si es el estabilizador de un punto sobre $a$ en una cubierta de $X$ .

La topología admisible es más gruesa que la topología de convergencia compacta, y puede ser estrictamente más gruesa.

3) Digamos que un subgrupo $H$ de $\pi_1(X,a)$ est adecuado si, para cualquier $b\in X$ y cualquier clase de ruta $\gamma\in\pi(X,a,b)$ existe una vecindad $V$ de $b$ tal que para cualquier bucle $c$ en $V$ con sede en $b$ $\gamma c \gamma^{-1}$ pertenece a $H$ . (Nótese el cambio en el orden de los cuantificadores).

Existe una topología de grupo única en $\pi_1(X,a)$ para los que los subgrupos adecuados forman una base de subgrupos abiertos.

Esta topología es más fina (y posiblemente estrictamente más fina) que la topología de convergencia compacta. Sin embargo, si $X$ es localmente arwise connected, ambas topologías tienen los mismos subgrupos abiertos.

Answer 4

El grupo fundamentalOID de cualquier espacio conectado por trayectorias, localmente conectado por trayectorias y semilocalmente conectado es, de nuevo, un groupoide topológico (ahora no es necesario que sea puntiforme). El grupo fundamental topologizado en $x \in X$ es ahora sólo el grupo estabilizador de $x$ que hereda una topología del espacio de las flechas del grupúsculo. Hay algo sobre esto en n-lab. Busca en el apartado "Topologización del grupoide fundamental" en http://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid .

Answer 5

Lo que no se ha dicho es que si $X$ es un camino conectado y tiene una cubierta universal, entonces el grupo fundamental $\pi_1(X)$ se le puede dar una topología para que el mapa de origen $s:\pi_1 (X) \to X$ es un haz sobre $X$ con fibra sobre $x \in X$ la cubierta universal de $X$ con sede en $x$ Véase el capítulo 10 de Topología y Groupoides . Esto se sabe desde hace mucho tiempo.