Equivalencia unitaria de sumas de matrices hermitianas unitarias equivalentes

Question

Consideremos dos matrices hermitianas $A$ y $B$ . Supongamos que existe una matriz unitaria $U$ tal que $A+B$ es unitariamente equivalente a $U A U^* +B$ . ¿Implica esto que existe una matriz unitaria $V$ tal que $UAU^* + B = VAV^* + B$ y $VBV^* = B$ ? En términos más generales, me interesa saber cuándo $A+B$ es unitariamente equivalente a $UAU^* + WBW^*$ para matrices unitarias $U,W$ .

Estaré encantado de recibir pistas sobre pruebas, contraejemplos o simplemente enlaces a referencias útiles.

Actualización (tras el comentario de Kurt G.) : Este es un ejemplo en el que $V$ existe, pero no es inmediatamente obvio. Dejemos que $A=\sigma_x,B=\sigma_y,U=\sigma_z$ con las matrices de Pauli $\sigma_i$ . Entonces $A+B=\sigma_x+\sigma_y$ es unitariamente equivalente a $UAU^* + B=-\sigma_x + \sigma_y$ . Sin embargo, $U$ no conmuta con $B$ . (En particular, no es cierto que $U(A+B)U^* = A+B$ .) Sin embargo, la elección $V=\sigma_y$ funciona en este caso. De hecho, $V$ también realiza la equivalencia unitaria entre $A+B$ y $UAU^*+B$ .

Answer 1

La afirmación es errónea. Es decir, $A+B$ que equivale a $UAU^* + B$ no implica, en general, que exista una unidad $V$ tal que $VAV^*=UAU^*$ y $[V,B]=0$ . Se puede construir un contraejemplo de la siguiente manera: Elija $A>0$ (en particular invertible), diagonal y con espectro no degenerado. Sea $W$ sea un unitario y elija $B=WAW^*$ . Entonces: $$W(A+B)W^* = WAW^* + W W A W^* W^* = WWAW^*W^* + B .$$ Supongamos ahora que una unidad $V$ como el anterior existe. Entonces se puede demostrar que $V= W^2 D$ con $D$ diagonal y unitaria. En consecuencia, $[V,B]=0$ se traduce en $WDW$ siendo diagonal y unitaria. Por lo tanto, basta con encontrar una unidad $W$ que no permite una matriz unitaria diagonal $D$ tal que $WDW$ es diagonal. Un ejemplo en 3 dimensiones es el siguiente: $W$ es el desplazamiento cíclico en los vectores base canónicos de $\mathbb C^3$ actuando como $W\vec e_{i}=\vec e_{i+1}$ (con $\vec e_4=\vec e_1$ ). Entonces $WDW \vec e_i = d_{i+1} \vec e_{i+2}$ , donde $d_i$ son las entradas (diagonales) de $D$ . Por supuesto, este ejemplo es aplicable a cualquier dimensión mayor que $2$ .

Como nota al margen, permítanme mencionar que la afirmación se cumple si $A$ y $B$ son proyecciones. Esto se deduce de la forma general de los pares de proyecciones. En particular, esto generaliza el ejemplo de Pauli discutido anteriormente, ya que las matrices de Pauli son proyecciones desplazadas por la identidad.

Answer 2

Las matrices de Pauli $$ \sigma_x=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right)\,,\quad\sigma_y=\left(\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}\right)\,,\quad\sigma_z=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right) $$ son unitarios, hermitianos y satisfacen \begin{align}\tag{1} \sigma_x^2=\sigma_y^2=\sigma_z^2=\boldsymbol{1}\,,\quad\quad\sigma_x\,\sigma_y=i\,\sigma_z\,,\quad(\text{anti symmetric in }x,y,z)\,. \end{align} El hecho de que las matrices sean cuadradas a uno también puede escribirse como $$\tag{2} \sigma_x^*=\sigma_x\,,\quad\sigma_y^*=\sigma_y\,,\quad\sigma_z^*=\sigma_z\,. $$ Usted está viendo \begin{align} \sigma_x+\sigma_y=\left(\begin{matrix}0&1-i\\1+i&0\end{matrix} \right)\text{ y } -\sigma_x+\sigma_y=\left( \begin{matrix}0&-1-i\\-1+i&0\end{matrix}\right)\,. \end{align} Una matriz unitaria que hace equivalentes estas dos es $$ \left(\begin{matrix}1&0\\0&i\end{matrix}\right)\,. $$ Otra matriz de este tipo es $$ \left(\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}\right)\,. $$ que resulta ser igual a $\sigma_y\,.$ Si no me equivoco, la forma general de una matriz unitaria que hace $\sigma_x+\sigma_y$ y $-\sigma_x+\sigma_y$ equivalente es $$ \left(\begin{matrix}a&b\\-b&ia\end{matrix}\right)\,. $$ donde los números complejos $a=a_1+ia_2,b=b_1+ib_2$ debe satisfacer $$ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1-b_2}{b_1+b_2} $$ más una escala tal que $a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2=1\,.$ Hasta aquí todo bien.

Un poco más general:

La antisimetría en (1) implica para cada $\mu\not=\nu$ que $\sigma_\mu\,\sigma_\nu\,\sigma_\mu=-\sigma_\nu$ retiene. Debido a (2) es fácil que para cada $\mu\not=\nu$ y cada $\rho\not=\mu\,,$ $$ \sigma_\mu+\sigma_\nu\quad\text{ and }-\sigma_\mu+\sigma_\nu=\sigma_\rho\,\sigma_\mu\,\sigma_\rho+\sigma_\nu =\sigma_\rho\,\sigma_\mu\,\sigma_\rho^*+\sigma_\nu $$ son equivalentes unitarios, y la matriz unitaria más bonita que hace el trabajo es $\sigma_\nu\,.$

Esto es así porque las matrices de Pauli tienen muchas propiedades agradables.

Conclusión. Sospecho que en el mundo del caso general la hierba no será muy verde.