$\frac{0}{0}$ significa que las funciones tienen un factor común y se pueden simplificar?

Question

Digamos, por ejemplo, que tenemos la siguiente función

$$\frac{2x+8}{x^2+x-12}$$ en $-4$ ambas funciones tienen el mismo valor que es cero, lo que significa que en este punto las funciones se cruzan.

¿Cómo es que su división en este punto determinado significa que deben compartir un factor común y, por lo tanto, pueden ser simplificados?

Answer 1

No todas estas funciones pueden simplificarse. Por ejemplo $f(x)=x$ y $g(x)=e^x-1$ . Entonces, mientras ambas funciones tienen una raíz en $0$ su relación $$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x}{e^x-1}$$ no puede simplificarse (sin apelar, por ejemplo, a una expansión de Taylor).

La cuestión es que hay algo especial en el cociente de polinomios con raíces coincidentes. Esto viene de la teorema del factor que establece que si $h(x)$ es un polinomio, tiene un factor de $(x-a)$ si y sólo si $h(a)=0$ .

Por lo tanto, si $f(x)$ y $g(x)$ son polinomios y ambos tienen una raíz en $a$ Es decir $f(a)=g(a)=0$ entonces podemos escribir $f(x)=(x-a)p(x)$ y $g(x)=(x-a)q(x)$ donde $\deg(p(x))<\deg(f(x))$ y $\deg(q(x))<\deg(g(x))$ .

Por lo tanto, tenemos

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{(x-a)p(x)}{(x-a)q(x)}$$

y en particular para $x\ne a$ podemos simplificar esto a

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{p(x)}{q(x)}$$

Tenga en cuenta que en $x=a$ la relación $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ es indefinido.

Answer 2

El hecho de que tengan un factor $x-a$ donde $a$ es una raíz del polinomio $p(x)$ se deduce que si se intenta dividir por $x-a$ obtendrás $p(x) = q(x)(x-a)+r(x)$ donde $r(x)$ es un polinomio de grado inferior a uno (es decir, una constante $C$ ), $q(x)$ siendo un polinomio. Ahora $0 = p(a) = q(a)(a-a)+r(a)=r(a)=C$ , cosequently $C=0$ así que $p(x) = q(x)(x-a)$ Es decir, que $(x-a)$ es efectivamente un factor de $p(x)$ .