Maneras más fácil de probar $\int_0^1 \frac{\log^2 x-2}{x^x}dx<0$

Question

Demostrar que

$$\int_0^1 \frac{\log^2 x-2}{x^x}dx<0$$

Una forma de hacerlo es utilizar la idea en la prueba de sueño de segundo año. Tenemos $$x^{-x}=\exp(-x\log x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^n\log^n x}{n!}$ $ por lo tanto, con el cambio de la variable $x=\exp(-t/(n+1))$ tenemos

$$\begin{aligned}\int_0^1 \frac{\log^2 x}{x^x}dx=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1x^n\log^{n+2}xdx\\ =&\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)^{-(n+3)}}{n!}\int_0^\infty t^{n+2}e^{-t}dt\\ =&\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)^{-(n+3)}(n+2)!}{n!}\\ =&\sum_{n=0}^\infty(n+1)^{-(n+2)}(n+2)\\ =&\sum_{n=1}^\infty n^{-(n+1)}(n+1)\\ =&\sum_{n=1}^\infty n^{-n}+n^{-(n+1)}\\ <&2\sum_{n=1}^\infty n^{-n}\\ =&\int_0^1\frac{2}{x^x}dx \end{alineados} $$

Por lo tanto, el resultado sigue.

Tengo curiosidad que si hay cualquier otro método para demostrarlo, sobre todo estoy interesado en enfoques más fácil.

P.d.: Esto era un problema de bono en una asignación de una clase de cálculo multivariable.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x)=x^x$ es convexo en $[0,1]$ con su mínimo en $1/e$. Ahora desde $2^e>e$ ($e>1$) sostiene que el $f(1/e)>1/2$. Por lo tanto\begin{align} \int_0^1 \frac{\log^2 x-2}{x^x}dx<2\int_0^1 (\log^2 x-2)dx=0 \end {Alinee el}

Answer 2

Usando la desigualdad $\log(x)<x-1$ % todo $x>0$tenemos\begin{align} \int_0^1 {\frac{{\log ^2 \left( x \right) - 2}}{{x^x }}dx} < \int_0^1 {\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 - 2}}{{x^x }}dx} \end {Alinee el} también utilizamos la desigualdad $e^{x} \ge 1+x$ % todos $x>0$para expresar el denumeantor $$x^x=\exp(x\ln(x))\ge 1+x\ln(x).$ $

Por lo tanto,\begin{align} \int_0^1 {\frac{{\log ^2 \left( x \right) - 2}}{{x^x }}dx} < \int_0^1 {\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 - 2}}{{x^x }}dx} <\int_0^1 {\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 - 2}}{{1+x\ln(x)}}dx}. \end{align} ahora, usando la desigualdad $\log(x) > \frac{x-1}{x}$ % todo $x > 0$, egt\begin{align} \int_0^1 {\frac{{\log ^2 \left( x \right) - 2}}{{x^x }}dx} < \int_0^1 {\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 - 2}}{{x^x }}dx} &<\int_0^1 {\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 - 2}}{{1+x\ln(x)}}dx} \\ &<\int_0^1 {\frac{{\left( {x - 1} \right)^2 - 2}}{{1+x\cdot \frac{x-1}{x}}}dx} \\ &<\int_0^1 {e\cdot x\cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)^2 - 2}}{{1+x\cdot \frac{x-1}{x}}}dx} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\text{since %#%#%}) \\ &<\int_0^1 {e\cdot \left({\left( {x - 1} \right)^2 - 2}\right)dx} = -\frac{5}{3} e <0 \end {Alinee el}