¿Fraccionalización y estructura del grupo de rotación de espín?

Question

Como sabemos, los fenómenos de fraccionamientos en la física de la materia condensada son fantásticos, como el espín fraccionario, la carga fraccionaria, la estadística fraccionaria, .... Y un punto clave es que los cuasiparticales deben ser creados o aniquilados por par .

Por otro lado, considere los grupos $SU(2)$ y $SO(3)$ son los grupos de rotación para medio entero y entero giros, respectivamente. Y sabemos que $SU(2)/\mathbb{Z}_2=SO(3)$ lo que significa que cada elemento de $SO(3)$ puede ser visto como un par $(U,-U)$ , donde $U\in SU(2)$ (Dicho de otro modo: el coset $\left\{U, -U\right\} \subset SU(2)$ en el grupo cociente $SU(2)/\mathbb{Z}_2$ es nuestro elemento en $SO(3)$ ).

Así que me pregunto si hay alguna conexión subyacente entre el par naturaleza de los cuasiparticales en fase topológica en el lado de la física y la par estructura relativa a $SU(2)$ y $SO(3)$ ¿en el lado de las matemáticas?

Muchas gracias.

Answer 1

El grupo de rotaciones de un $N$ -es el espacio de las dimensiones $SO(N)$ . Al ser una simetría de la naturaleza, los sistemas clásicos se transforman según las representaciones de $SO(N)$ .

La mecánica cuántica, en cambio, permite sistemas que se transforman según los grupos de cobertura universales de las simetrías clásicas. Esta es la razón por la que en la teoría cuántica tridimensional obtenemos representaciones de $SU(2)$ que no son verdaderas representaciones de $SO(3)$ (las representaciones de espín semientero). Más generalmente, tenemos, en la teoría cuántica, representaciones de $Spin(N) = SO(N) \ltimes \mathbb{Z}_2$ .

Sin embargo, en el caso de dos dimensiones espaciales, $SO(2) \cong U(1)$ y la cobertura universal de $U(1)$ no es $Spin(2)$ sino que $\mathbb{R}$ .

En contraste con $SO(2)$ o $U(1)$ que permiten valores discretos del espín bidimensional: $u = e^{i n \theta}$ $n \in \mathbb{Z}$ , $0\le \theta <2 \pi$ la cobertura universal $\mathbb{R}$ permite un continuo de valores de giro.

Esta es la razón básica de la fraccionalización del espín en dos dimensiones.