Demostrando que si $T$ es una transformación de Möbius del disco, $\frac{|T(z)-T(w)|}{|1-T(z)\overline{T(w)}|} = \frac{|z-w|}{|1-z\overline{w}|}$

Question

... donde $z, w \in \mathbb{D}$ , $\mathbb{D}$ el disco de la unidad abierta. Me doy cuenta de que la forma de empezar a trabajar en esto es expresar $T$ como $e^{i\alpha}S_a$ para algunos $\alpha \in [0, 2\pi]$ y $a \in \mathbb{D}$ , donde $S_a (z) = \frac{z-a}{1-\overline{a}z}$ . Entonces encontramos que el $e^{i\alpha}$ los factores desaparecen del módulo del lado izquierdo con una práctica cancelación. Pero después las fracciones parecen hacer todo un lío. He intentado demostrar la identidad mostrando $|T(z)-T(w)||1-z\overline{w}| = |z-w||1-T(z)\overline{T(w)}|$ , pero las fracciones y los términos se me fueron de las manos y dudo que sea tan complicado.

¿Existe una forma sencilla de demostrarlo?

Answer 1

Fijar un punto $w \in \mathbb D$ y utilizar algunas transformaciones adicionales.

$Sz = \dfrac {z+w}{1 + z \bar w}$ es una transformación de Möbius en $\mathbb D$ que lleva $0$ à $w$ .

$Rz = \dfrac{z - Tw}{1 - z \overline{Tw}}$ es una transformación de Möbius en $\mathbb D$ que lleva $Tw$ à $0$ .

La composición $R \circ T \circ S$ es una transformación de Möbius en $\mathbb D$ que arregla $0$ . Las únicas transformaciones de este tipo son las rotaciones, y por tanto $$|R(T(S(z)))| = |z|$$ $$|R(T(z))| = |S^{-1}(z)|$$ $$ \frac{|Tz - Tw|}{|1 - Tz \overline{Tw}|} = \frac{|z-w|}{|1 - z \bar w|}.$$