Entiendo que esta pregunta ya se ha hecho antes (o variantes de ella al menos), pero la mayoría de las pruebas que he visto parecen ser bastante complicadas y quería aclarar si esta prueba es válida.
En primer lugar, el libro que estoy leyendo define un número algebraico como
Un número es algebraico si es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros
Consideremos ahora el conjunto $S_n$ que denota las raíces de todos los polinomios con coeficientes enteros de grado $n$ , si $x_0$ es una raíz de este polinomio y también una raíz de otro polinomio de grado $n' > n$ entonces $x_0$ siempre está contenido en el conjunto inferior y no se repite. Es evidente que existe una inyección entre los polinomios $S_n$ y $\mathbb{Z}^{n+1}$ (por ejemplo, cuando los elementos de $\mathbb{Z}^{n+1}$ denotan los coeficientes del polinomio), por lo que $S_n$ es contable. Hay además un número contablemente infinito de $S_i$ (es decir $S_1, S_2, \ldots , S_n$ ).
Además, por definición, $$\bigcup_{i=1}^n S_i = A, \text{ where } A \text{ denotes the set of all algebraic numbers}$$
Como la unión de un número contablemente infinito de conjuntos contables infinitos es también contablemente infinita, el conjunto de los números algebraicos es contable.
