¿La diferenciabilidad del mod de una función continua implica la diferenciabilidad de la función?

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua de valor real en un intervalo abierto, y $|f|$ es diferenciable. Es $f$ ¿Diferenciable?

Si la respuesta es afirmativa, por favor, dame una prueba de ello.

Si la respuesta es no, por favor, dame un contraejemplo.

¿Cuál es el papel del intervalo abierto aquí? ¿El resultado es el mismo para un intervalo cerrado?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sí, para un valor real continuo $f$ la diferenciabilidad de $\lvert f\rvert$ implica la diferenciabilidad de $f$ (pero no a la inversa).

Si $f(x_0) \neq 0$ tenemos una vecindad $(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)$ de $x_0$ en el que $f$ no tiene ceros, por la continuidad. Por lo tanto, en $(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)$ tenemos $f \equiv \lvert f\rvert$ (si $f(x_0) > 0$ ) o $f \equiv -\lvert f\rvert$ . En cualquier caso, $f$ es diferenciable en $(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)$ .

Si $f(x_0) = 0$ entonces $\lvert f\rvert$ tiene un mínimo en $x_0$ Por lo tanto $\lvert f\rvert'(x_0) = 0$ , lo que significa que

$$\lim_{h\to 0} \frac{\lvert f(x_0+h)\rvert}{h} = 0,$$

pero eso implica

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)}{h} = 0,$$

que es la diferenciabilidad de $f$ en $x_0$ con $f'(x_0) = 0$ .

Así que $f$ es diferenciable en todos los puntos.

Si $f$ se define en un intervalo cerrado (o semicerrado) en lugar de un intervalo abierto, lo único que cambia es que en los puntos extremos del intervalo puede ser necesario hablar de la derivada unilateral, si la derivada sólo está definida para puntos interiores.