Coordenadas en $\mathcal O_{\mathbb CP^1}(-n)$

Question

El haz de líneas $\mathcal O_{\mathbb CP^1}(-1) = \{(z,\ell)|~z \in \ell \} $ es un submanifold de $\mathbb C^2 \times \mathbb CP^1$ con el mapa del haz la proyección. Así podemos restringir las coordenadas de $\mathbb C^2 \times \mathbb CP^1$ a las coordenadas de $\mathcal O(-1)$ .

¿Y sus poderes? ¿Son también tales submanifolds? Estaba pensando que tal vez $$\mathcal O_{\mathbb CP^1}(-n) = \{((z_0^n, z_1^n),[z_0,z_1])\}\subset \mathbb C^2 \times \mathbb CP^1.$$

Esto daría las funciones de transición correctas $(\frac {z_1}{z_0})^n$ . Pero no creo que esté bien definido, porque la función $[z_0: z_1] \mapsto (z_0^n, z_1^n)$ no es inyectiva (mira las raíces de la unidad).

Entonces, ¿cómo se definen las coordenadas en $\mathcal O_{\mathbb CP^1}(-n)$ ? Me interesa especialmente el caso $n=2$ .

Answer 1

Una forma de construir coordenadas en $\mathcal{O}(n)$ es observar que $\mathcal{O}(-1)$ es un haz de líneas, por lo que una sección local $s$ en $U \subset \mathbb{CP}$ trivializará el haz sobre $U$ .

Tomando potencias tensoriales de $s$ da una sección local de $\mathcal{O}(-n) = \mathcal{O}(-1)^{\otimes(n)}$ es decir $s^{\otimes n}$ trivializa $\mathcal{O}(-n)$ en $U$ .

Esta construcción mostrará que en la intersección de los gráficos de coordenadas en $M$ obtenemos las funciones de transición deseadas, ya que el producto tensorial de dos matrices unidimensionales es, de hecho, una simple multiplicación escalar.

En cuanto a la primera parte de su pregunta, creo que su descripción es válida. De hecho, son precisamente lo que he descrito en lo anterior.

Si no puedes ver lo que quiero decir, considera $z$ como una sección sobre $U$ , donde $U$ la carta de coordenadas \begin{align} \phi: U \subset\mathbb{CP} &\to \mathbb{C} \\ [l:1] &\mapsto l \end{align} Si $z: U \to \mathcal{O}(-1)$ es una sección local $z \in [l:1] \implies z(l)= c(l)(l, 1)$ donde $c: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ . Una potencia tensorial de esta sección sería entonces $c(l)^n(l^n, 1)$ según sea necesario.