Grupo de orden pq no es simple

Question

¿Es correcta la siguiente forma de demostrar que no existe ningún grupo simple de orden $pq$ donde $p$ y $q$ son primos distintos?

Si $|G|=n=pq$ entonces los dos únicos subgrupos Sylow son de orden $p$ y $q$ .

Por el tercer teorema de Sylow sabemos que $n_p | q$ lo que significa que $n_p=1$ o $n_p=q$ .

Si $n_p=1$ entonces hemos terminado (por un corolario del teorema de Sylow)

Si $n_p=q$ entonces hemos contabilizado $q(p-1)=pq-q$ elementos de $G$ por lo que sólo hay un grupo de orden $q$ y de nuevo hemos terminado.

¿Es correcto?

Answer 1

Esta respuesta CW pretende eliminar la pregunta de la cola de respuestas sin contestar.

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Como ya se ha señalado en los comentarios, su prueba es correcta.

Answer 2

Si |G|=pq donde p y q son primos entonces sin pérdida de generalidad supongamos p < q. Por los teoremas de Sylow existe un subgrupo de Sylow q. El número de estos es congruente a 1 mod q pero también dividir p por los teoremas de Sylow. Ahora bien, como q>p podemos decir que sólo existe un subgrupo de Sylow q. Usando el hecho de que los elementos conjugados tienen el mismo orden, el único subgrupo sylow q es normal.

Answer 3

Supongamos sin pérdida de generalidad que $p<q$ . Por el teorema de Cauchy, $G$ tiene un subgrupo $H$ de orden $q$ . El índice de este subgrupo es $[G:H]=p$ . Recordemos ahora que un subgrupo de índice el divisor primo más pequeño es normal.