Regularidad de la medida de Lebesgue

Question

Dejemos que $A\subseteq \mathbb{R}$ sea un conjunto medible de Lebesgue de medida $m(A)=p>0$ . Entonces, para todos los $0<q<p$ , demuestre que existe un subconjunto $B\subseteq A$ con $m(B)=q$ .

¿Qué teorema tengo que utilizar aquí, el de la regularidad o el de la densidad de la medida de Lebesgue o algún otro?

Answer 1

Considere $f(x) = \int_A 1_{(-\infty, x]}$ . Entonces $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ , $\lim_{x \to +\infty} f(x) = p$ y $f$ es continua.

Entonces, utiliza el teorema del valor intermedio.