¿Es el mundo $C^\infty$ ?

Question

Aunque es bastante común utilizar funciones constantes a trozos para describir la realidad, por ejemplo, las propiedades ópticas de un sistema de capas, o la Estadística de Fermi-Dirac en (lo imposible de alcanzar exactamente) $T=0$ Me pregunto si en una teoría fundamental como la QFT se puede hacer/suponer/probar/refutar alguna afirmación sobre la analiticidad de los campos.

Tomemos por ejemplo la ecuación de Klein-Gordon. Incluso si se empieza con la distribución Delta no analítica, después de un tiempo infinitesimal el campo se suavizará hasta llegar a una función analítica. (Sí, lo sé, ese es uno de los problemas de la cuántica relativista mecánica y por qué la QFT es "más verdadera", pero intuitivamente no asumo que las integrales de trayectoria se comporten de otra manera, sino que también se suavizan).

Answer 1

Se trata de una pregunta realmente interesante, pero igualmente seductora. Las ondas de choque son discontinuidades que se desarrollan en las soluciones de la ecuación de onda. Las transiciones de fase (de varios tipos) son discontinuidades en termodinámica, pero como la termodinámica es un estudio de cantidades agregadas, se podría argumentar que el sistema microscópico sigue siendo continuo. Sin embargo, el mecanismo de Higgs es un análogo en la teoría cuántica de campos, donde la continuidad es un poco más difícil de ver. Es probable que la suavidad sea simplemente una conveniencia de nuestros modelos matemáticos (como se mencionó anteriormente). También es posible que el espaciotiempo liso sea una aproximación agregada/termodinámica de microestados discretos del espaciotiempo -- pero nuestro modelo de que sistema discreto se describirá probablemente mediante las matemáticas de las funciones continuas.

(p.d: La no-analiticidad es algo parecido al libre albedrío: ¡nuestro futuro no está determinado por todas las derivadas temporales de nuestro pasado!)

Answer 2

Ni siquiera estoy seguro de que el mundo sea $C^{0}$ . El concepto de incontabilidad en el mundo "real" todavía me resulta difícil de digerir. Me gusta tratar con la incontabilidad en las matemáticas puras, pero no estoy seguro de que sea así en el mundo "real". Tal vez sea posible reformular toda la física en términos discretos y no continuos. Un intento de este tipo es la Filosofía Discreta, aunque no sé hasta qué punto es cierto y hasta qué punto no lo es. Véase Filosofía digital

Podría ser posible reformularlas en términos de algunas cantidades fundamentales y asumir que estas cantidades no pueden subdividirse más. Por ejemplo, discretizar el espacio en términos de, digamos, la longitud de Planck y el tiempo en términos de, digamos, el tiempo de Planck, etc.

Answer 3

[Algunas respuestas muy buenas de Eric, Sivaram y Piotr arriba. ¡Aquí está mi opinión!]

Respuesta corta: ¡NO!

La noción de $C^\infty$ es una aberración matemática que se conjuró para ayudar a suavizar (juego de palabras) las discusiones en el análisis real.

Ahora, recuerda, preguntaste "¿Es el mundo $C^\infty$ ?". Por "mundo" entiendo el mundo físico que nos rodea, cuyas nociones se basan en lo que podemos observar. A observable físicamente que es infinitamente diferenciable, requeriría un número infinito de mediciones para determinar el valor de ese observable en una región determinada.

Dado que está surgiendo el consenso de que la información es el sustrato subyacente del Universo (en las diversas formas del principio holográfico), se hace aún más urgente rechazar una noción de $C^\infty$ observables.

Nótese cómo he subrayado las palabras "observables físicos" en lugar de funciones o entidades matemáticas que se utilizan como intermediarios para calcular cualquier cantidad medida. Esto está en armonía con la afirmación de Eric de que:

También es posible que el espaciotiempo liso sea alguna aproximación agregada/termodinámica de microestados discretos del espaciotiempo -- pero nuestro modelo de ese sistema discreto probablemente será descrito por las matemáticas de las funciones continuas.

Answer 4

Qué cantidades se supone que son $C^\infty$ ?

No sé si esto responde a tu pregunta, pero AFAIK las funciones suaves son una herramienta agradable y útil para describir muchos aspectos del mundo físico. Sin embargo, no veo por qué deberían considerarse fundamentales en ningún sentido.

En lo que respecta a la QFT, incluso ahí te encuentras a menudo con el delta de Dirac (y no puedes deshacerte de él fácilmente).

Un profesor de mi departamento cuando le preguntaron si todas las dependencias físicas son continuas contestó "Sí - y aún más - con dominio discreto" (ya que nunca harás un número infinito de mediciones).

De todos modos, en mi opinión, puede haber preguntas más específicas (y a propósito):

• ¿Si para una teoría dada tales y tales dependencias son continuas/analíticas/suaves/(otra buena propiedad)?
• ¿Si en la práctica uno puede limitarse a utilizar sólo funciones suaves, lo que resulta en un error de aproximación inferior al error de medición?

Answer 5

Otro contraejemplo serían las fluctuaciones de tensión a través de una resistencia debidas al ruido térmico. Se trata de un ruido blanco que es continuo en todas partes, pero que no es derivable en ningún punto.