Fuerzas que actúan sobre una partícula en movimiento browniano

Question

Necesito simular el movimiento de una pequeña partícula (esfera rígida de 100nm) en el agua. Para los propósitos de esto sólo estoy interesado en el fuerzas que actúa sobre la partícula, no su posición. Necesito generar fuerzas aleatorias extraídas de una distribución físicamente realista.

He leído algunos capítulos sobre el movimiento browniano clásico (por ejemplo http://physics.gu.se/~frtbm/joomla/media/mydocs/LennartSjogren/kap6.pdf y https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/205B/bmbook.pdf ) y, en todo caso, estoy más confundido que cuando empecé. Hay mucho material sobre la distribución de posiciones (paseo aleatorio), pero no tanto de fuerzas. Parece que cada colisión con una molécula de agua dura del orden de picosegundos durante los cuales se transfiere el impulso (ni idea de cuál es el perfil exacto de la fuerza sobre el tiempo para una colisión individual, pero es de esperar que haya suficientes colisiones en superposición en cualquier punto del tiempo que suavizaría la suma; y asumo que la colisión es totalmente elástica); y la fuerza global es la suma de un número bastante alto de colisiones como esta que ocurren en tiempos aleatorios (se supone que independientes).

Las partes complicadas: si cada molécula de agua se moviera a la misma velocidad, entonces el número de colisiones por unidad de tiempo vendría dado simplemente por la distribución de Poisson; pero, por supuesto, las moléculas tendrían una distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann, y parece que las moléculas más rápidas tienen más probabilidades de colisionar por unidad de tiempo (esencialmente: ya que viajan más lejos en esa cantidad de tiempo), por lo que la distribución de colisiones por unidad de tiempo no es Poisson, y la distribución de velocidades de las moléculas que colisionan no es Maxwell-Boltzmann. La fuerza total promediada en cualquier intervalo de tiempo sería la suma (vectorial) del momento de todas las partículas que colisionan dividida por el tiempo, pero ni la distribución de las velocidades de las partículas que colisionan ni la distribución del número de partículas que colisionan por unidad de tiempo son obvias (y las dos distribuciones no son independientes).

¿Cómo puedo producir una serie temporal aleatoria que represente correctamente las fuerzas que actúan sobre una partícula en movimiento browniano?

Answer 1

Creo que su confusión probablemente comienza cuando capítulo 6 de Lennart Sjögren introduce la fuerza aleatoria:

$$\begin{align} \frac{dx(t)}{dt}&=v(t) \\ \frac{dv(t)}{dt}&=-\frac{\gamma}{m}+\frac{1}{m}\xi(t) \end{align} \tag{6.3}$$ Esta es la Ecuaciones de Langevin de movimiento para la partícula browniana.
La fuerza aleatoria $\xi(t)$ es una variable estocástica que da el efecto del ruido de fondo debido al fluido sobre la partícula browniana.

Entonces, ¿cómo esta fuerza aleatoria $\xi(t)$ ¿Realmente se ve así?

La fuerza es causada por todas las pequeñas protuberancias de las moléculas de agua que golpean la partícula browniana bajo observación. Para una partícula browniana pequeña (es decir, golpeada sólo por unas pocas moléculas de agua) se vería así:

Cada uno de los golpes de fuerza es muy corto (unos pocos pico-segundos) y, por tanto, se puede aproximar bien mediante Funciones delta de Dirac : $\xi(t)=\sum_i A_i\delta(t-t_i).$

Para una partícula browniana más grande (es decir, golpeada por muchas moléculas de agua) es esencialmente lo mismo, pero hay muchos más golpes y la fuerza se parecerá más a esto:

_{(imagen de <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/White_noise" rel="nofollow noreferrer">Ruido blanco </a>)}

Las fuerzas de choque reales ( $A_i$ ) y sus puntos de tiempo ( $t_i$ ) son no se conocen. Sólo se pueden hacer afirmaciones estadísticas (también dadas en las ecuaciones (6.8) de capítulo 6 de Lennart Sjögren ):

1. La media temporal de $\xi(t)$ es cero, porque hay igualmente tantos baches por la izquierda como por la derecha. Por lo tanto, $$\langle\xi(t)\rangle=0.$$
2. La fuerza en un momento dado $\xi(t_1)$ es estadísticamente incorrecto con la fuerza en otro momento $\xi(t_2)$ , al menos para $|t_1-t_2| >$ unos pocos pico-segundos. Por lo tanto, $$\langle\xi(t_1)\xi(t_2)\rangle=g\delta(t_1-t_2).$$ Aquí también La función delta de Dirac aparece.

En la teoría de la señal tal $\xi(t)$ se llama ruido blanco .

Lo bueno es que: además de los dos requisitos anteriores (incluyendo la constante $g$ allí) no necesitas saber nada más sobre $\xi(t)$ .

Todos los demás detalles (por ejemplo, la distribución Maxwell/Boltzmann para las velocidades de las moléculas de agua) no son necesarios para determinar el efecto estadístico sobre la velocidad $v(t)$ de la partícula browniana.

Así que para las simulaciones, en lugar de una fuerza realista $\xi(t)$ (como en las imágenes de arriba), puede elegir cualquier función de ruido blanco que sea computacionalmente más fácil de manejar. Por ejemplo: Puede utilizar una función $\xi(t)$ que sólo tiene el valor $+B$ o $-B$ elegidos aleatoriamente de nuevo después de cada pequeño paso de tiempo $\Delta t$ .

Aun así, obtendrá el comportamiento estadístico correcto para la velocidad $v(t)$ y, por tanto, para la posición $x(t)$ de la partícula browniana.