Esta respuesta da información sobre la cohomología de $\overline{\mathbb CP^n}$ . Quizás alguien reconozca esto como la cohomología de un espacio familiar.
La conjugación es una acción de $\Sigma_2$ en $\mathbb CP^n$ . Nos interesa el espacio orbital de esta acción. Recordemos que el punto fijo de esta acción es homeomorfo a $\mathbb RP^\infty$ .
El espacio del cociente $\mathbb CP^n/\mathbb RP^n$ tiene una acción libre de $\Sigma_2$ (lejos del punto base). El hecho de que para la acción libre el cociente estricto sea equivalente al cociente homotópico implica que existe un cuadrado de empuje homotópico $$ \begin{array}{ccc} \mathbb RP^n \times \mathbb RP^\infty & \to & \mathbb RP^n \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb CP^n \times_{\Sigma_2} E\Sigma_2 & \to & \overline{\mathbb CP^n} \end{array} $$
Quizás sea instructivo considerar lo que ocurre cuando $n=\infty$ . Se puede realizar el diagrama de límites como un diagrama de espacios clasificatorios:
$$ \begin{array}{ccc} B\Sigma_2\times B\Sigma_2 & \to & B\Sigma_2 \\ \downarrow & & \downarrow \\ BO(2) & \to & \overline{\mathbb CP^\infty} \end{array} $$
A partir de este cuadrado se puede, en principio, calcular la cohomología de $\overline{\mathbb CP^n}$ utilizando la secuencia exacta de Meier-Vietoris. Si se localiza lejos del primo $2$ la respuesta es bastante sencilla. En este caso $\mathbb RP^\infty\simeq *$ y obtenemos una equivalencia lejos del primo $2$ : $$ \mathbb CP^n \times_{\Sigma_2} E\Sigma_2 \xrightarrow{\simeq} \overline{\mathbb CP^n}. $$ Si $\Lambda$ es un anillo donde $2$ es invertible, entonces $H^*(BO(2);\Lambda)\cong \Lambda[p_1]$ , donde $p_1$ es una clase de dimensión $4$ (la primera clase de Pontryagin). La cohomología de $\mathbb CP^n \times_{\Sigma_2} E\Sigma_2$ es isomorfo al truncamiento $\Lambda[p_1]/_{(p_1^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor+1})}$ . Obsérvese que para $n=1$ se obtiene la cohomología de un punto, y para $n=2$ se obtiene la cohomología de una esfera, como se esperaba.
La cohomología con coeficientes mod 2 es más complicada/interesante. En el límite cuando $n=\infty$ se obtiene el siguiente diagrama en cohomología
$$ \begin{array}{ccc} H^*(\overline{\mathbb CP^\infty};\mathbb Z/2) & \to & \mathbb Z/2[w_1, w_2] \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb Z/2[x] & \to &\mathbb Z/2[x, y] \end{array} $$ Donde el homomorfismo del lado derecho envía $w_1$ a $x+y$ y $w_2$ a $xy$ . La serie de Poincare de $\tilde H^*(\overline{\mathbb CP^\infty};\mathbb Z/2)$ resulta ser $\frac{t^4}{(1-t)(1-t^2)}$ .
Para los finitos $n$ Tenemos que tomar un truncamiento de este diagrama. Si no me equivoco, el diagrama en cohomología resulta ser el siguiente
$$ \begin{array}{ccc} H^*(\overline{\mathbb CP^n};\mathbb Z/2) & \to & \mathbb Z/2[w_1, w_2]/_{(w_2^{n+1})} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbb Z/2[x]/_{(x^{n+1})} & \to &\mathbb Z/2[x, y]/_{(x^{n+1})} \end{array} $$
Según mis cálculos, la serie de Poincare de $\tilde H^*(\overline{\mathbb CP^n};\mathbb Z/2)$ resulta ser $$t^4\frac{(1-t^{n-1})(1-t^n)}{(1-t)(1-t^2)}.$$
Más explícitamente, esto equivale a $$t^4(1+t+t^2+ \cdots +t^{n-2})(1+t^2+t^4+\cdots +t^{n-2})$$ si $n$ es par, y $$t^4(1+t^2+t^4+\cdots + t^{n-3})(1+t+t^2+\cdots +t^{n-1})$$ si $n$ es impar. Una vez más, esto parece dar la respuesta correcta para $n=1, 2$ así que espero que esto sea una buena señal.
