Vamos a seguir adelante y demostrar Eric Wofsey de la demanda (ver su comentario debajo de la pregunta), que si $H$ es un infinito-dimensional espacio de Hilbert con una base ortonormales $U$ de cardinalidad $\kappa$, entonces cualquier base de Hamel $B$ $H$ tiene cardinalidad $|B| = \kappa^{\aleph_0}$. Aviso esto implica que algunos (real o complejo) espacios vectoriales no admitir a un espacio de Hilbert de la estructura; por ejemplo, a todos aquellos cuya dimensión es el límite de $\lambda$ de cardenales $\alpha_n$ definido por $\alpha_0 = \aleph_0$ $\alpha_{n+1} = 2^{\alpha_n}$ ($\lambda$ ha contables cofinality y, por tanto, no puede ser de la forma $\lambda = \kappa^{\aleph_0}$, otra cosa $\lambda = \lambda^{\aleph_0}$, lo que estaría en contradicción del teorema de König, como se mencionó en un comentario anterior).
Primera observación: $|B| = |H|$. Desde $H$ es de dimensiones infinitas, tenemos $|B| \geq 2^{\aleph_0} = |\mathbb{C}|$ (véase, por ejemplo, los dos últimos párrafos de este M. SE post: http://math.stackexchange.com/a/547888/43208), y tenemos $|H| = |B|\cdot |\mathbb{C}|$ por el lema en este MO post: http://mathoverflow.net/a/49572/2926). La combinación de estos dos, $|B| = |B| \cdot |B| \geq |B| \cdot |\mathbb{C}| = |H|$, y obviamente $|B| \leq |H|$, lo $|B| = |H|$.
Deje $\langle -, -\rangle$ del producto interior. Para cada una de las $h \in H$, vamos a $N_h = \{e \in U: \langle h, e\rangle \neq 0\}$; cuenta de esto es en la mayoría de los contables. Considere la posibilidad de $H_{fin} = \{h \in H: |N_h| < \infty\}$ y su complemento, que voy a indicar como $H_\infty$.
Cada una de las $h \in H_\infty$ determina y es determinada únicamente por el countably conjunto infinito $N_h \subseteq U$ junto con el correspondiente elemento de $\sum_{e \in N_h} \langle h, e\rangle e$$l^2(N_h)$. De esta manera tenemos un bijection
$$H_\infty \to \bigcup_{N \in X} L(N) \qquad (1)$$
donde $X$ es la colección de countably infinitos subconjuntos $N$ $U$ $L(N)$ es el subconjunto de a $l^2(N)$ cuyos elementos $h$ satisfacer $\langle h, e\rangle \neq 0$ todos los $e \in N$.
Lema: Si $A$ es un conjunto infinito y $\alpha$ cardinal tal que $\alpha \leq |A|$, entonces el número de subconjuntos de a $A$ del tamaño de la $\alpha$$|A|^\alpha$.
Prueba: Para cada inclusión de un subconjunto de tamaño $\alpha$, se puede elegir una función inyectiva $\alpha \to A$ con la misma imagen, perteneciente a el conjunto de todas las funciones que tiene cardinalidad $|A|^\alpha$, lo $|A|^\alpha$ es un límite superior. Por otro lado, una función de $\alpha \to A$ puede ser identificado con su gráfica, un subconjunto de a $\alpha \times A$ del tamaño de la $\alpha$, e $|\alpha \times A| = |A|$ (a excepción de $\alpha = 0$ que es trivial), por lo $|A|^\alpha$ es también un límite inferior. $\Box$
La aplicación de este lema a la bijection (1), tenemos $|X| = \kappa^{\aleph_0}$. También tenemos $|L(N)| = 2^{\aleph_0}$ por cada $N$, lo $|H_\infty| = \kappa^{\aleph_0} \cdot 2^{\aleph_0} = \kappa^{\aleph_0}$.
Del mismo modo, disponemos de una inyección
$$H_{fin} \to \bigcup_{n \geq 0} X_n \times \mathbb{C}^n \qquad (2)$$
donde $X_n$ es la colección de subconjuntos de a $U$ de cardinalidad finita $n$. Desde $|X_n| = \kappa^n = \kappa$ por el lema, tenemos $|H_{fin}| \leq \aleph_0 \cdot \kappa \cdot 2^{\aleph_0} = \max\{\kappa, 2^{\aleph_0}\} \leq \kappa^{\aleph_0}$.
Finalmente, $\kappa^{\aleph_0} = |H_\infty| \leq |H| = |H_\infty| + |H_{fin}| \leq \kappa^{\aleph_0} + \kappa^{\aleph_0} = \kappa^{\aleph_0}$, lo $|H| = \kappa^{\aleph_0}$ como se reivindica.
Añadido en respuesta a Sushil el comentario de abajo: a La inversa, que si $\kappa = \kappa^{\aleph_0}$ entonces existe un espacio de Hilbert de dimensión algebraica $\kappa$, es bastante inmediata. En efecto, supongamos $B$ es un conjunto de cardinalidad $\kappa$, y deje $V$ $\mathbb{C}$- espacio vectorial $V$ consta de formal $\mathbb{C}$-de las combinaciones lineales de elementos de $B$. Asignar a $V$ el único producto interior que hace que $B$ un ortonormales conjunto de $V$. Luego de la finalización de la $V$ con respecto a la norma del producto interior es un espacio de Hilbert $H$ cuya dimensión algebraica es $\kappa$. Esto es debido a que $B$ es una base ortonormales de $H$ (por la construcción de $H$), por lo que la demanda del primer párrafo de esta respuesta muestra que cualquier base de Hamel $H$ tiene cardinalidad $\kappa^{\aleph_0} = \kappa$.
