¿Puede dotar a cada espacio del vector con una estructura de espacio de Hilbert?

Question

Supongamos que tenemos un espacio vectorial $X$ sobre el campo de $\mathbb F \in \{ \mathbb R, \mathbb C \}$.

Pregunta: ¿existe un espacio de Hilbert $\widehat X$ $\mathbb F$ tal que $\widehat X$, cuando nos olvidamos de la estructura de espacio de Hilbert, es el mismo que $X$ en la categoría de espacios vectoriales?

Los criterios que se tienen de la existencia de un espacio de Hilbert, en la que opciones tenemos? Mi motivación es mejor entender que la estructura que podemos recibir de la configuración del espacio de Hilbert (y topológicos, espacios vectoriales en general).

Answer 1

Vamos a seguir adelante y demostrar Eric Wofsey de la demanda (ver su comentario debajo de la pregunta), que si $H$ es un infinito-dimensional espacio de Hilbert con una base ortonormales $U$ de cardinalidad $\kappa$, entonces cualquier base de Hamel $B$ $H$ tiene cardinalidad $|B| = \kappa^{\aleph_0}$. Aviso esto implica que algunos (real o complejo) espacios vectoriales no admitir a un espacio de Hilbert de la estructura; por ejemplo, a todos aquellos cuya dimensión es el límite de $\lambda$ de cardenales $\alpha_n$ definido por $\alpha_0 = \aleph_0$ $\alpha_{n+1} = 2^{\alpha_n}$ ($\lambda$ ha contables cofinality y, por tanto, no puede ser de la forma $\lambda = \kappa^{\aleph_0}$, otra cosa $\lambda = \lambda^{\aleph_0}$, lo que estaría en contradicción del teorema de König, como se mencionó en un comentario anterior).

Primera observación: $|B| = |H|$. Desde $H$ es de dimensiones infinitas, tenemos $|B| \geq 2^{\aleph_0} = |\mathbb{C}|$ (véase, por ejemplo, los dos últimos párrafos de este M. SE post: http://math.stackexchange.com/a/547888/43208), y tenemos $|H| = |B|\cdot |\mathbb{C}|$ por el lema en este MO post: http://mathoverflow.net/a/49572/2926). La combinación de estos dos, $|B| = |B| \cdot |B| \geq |B| \cdot |\mathbb{C}| = |H|$, y obviamente $|B| \leq |H|$, lo $|B| = |H|$.

Deje $\langle -, -\rangle$ del producto interior. Para cada una de las $h \in H$, vamos a $N_h = \{e \in U: \langle h, e\rangle \neq 0\}$; cuenta de esto es en la mayoría de los contables. Considere la posibilidad de $H_{fin} = \{h \in H: |N_h| < \infty\}$ y su complemento, que voy a indicar como $H_\infty$.

Cada una de las $h \in H_\infty$ determina y es determinada únicamente por el countably conjunto infinito $N_h \subseteq U$ junto con el correspondiente elemento de $\sum_{e \in N_h} \langle h, e\rangle e$$l^2(N_h)$. De esta manera tenemos un bijection

$$H_\infty \to \bigcup_{N \in X} L(N) \qquad (1)$$

donde $X$ es la colección de countably infinitos subconjuntos $N$ $U$ $L(N)$ es el subconjunto de a $l^2(N)$ cuyos elementos $h$ satisfacer $\langle h, e\rangle \neq 0$ todos los $e \in N$.

Lema: Si $A$ es un conjunto infinito y $\alpha$ cardinal tal que $\alpha \leq |A|$, entonces el número de subconjuntos de a $A$ del tamaño de la $\alpha$$|A|^\alpha$.

Prueba: Para cada inclusión de un subconjunto de tamaño $\alpha$, se puede elegir una función inyectiva $\alpha \to A$ con la misma imagen, perteneciente a el conjunto de todas las funciones que tiene cardinalidad $|A|^\alpha$, lo $|A|^\alpha$ es un límite superior. Por otro lado, una función de $\alpha \to A$ puede ser identificado con su gráfica, un subconjunto de a $\alpha \times A$ del tamaño de la $\alpha$, e $|\alpha \times A| = |A|$ (a excepción de $\alpha = 0$ que es trivial), por lo $|A|^\alpha$ es también un límite inferior. $\Box$

La aplicación de este lema a la bijection (1), tenemos $|X| = \kappa^{\aleph_0}$. También tenemos $|L(N)| = 2^{\aleph_0}$ por cada $N$, lo $|H_\infty| = \kappa^{\aleph_0} \cdot 2^{\aleph_0} = \kappa^{\aleph_0}$.

Del mismo modo, disponemos de una inyección

$$H_{fin} \to \bigcup_{n \geq 0} X_n \times \mathbb{C}^n \qquad (2)$$

donde $X_n$ es la colección de subconjuntos de a $U$ de cardinalidad finita $n$. Desde $|X_n| = \kappa^n = \kappa$ por el lema, tenemos $|H_{fin}| \leq \aleph_0 \cdot \kappa \cdot 2^{\aleph_0} = \max\{\kappa, 2^{\aleph_0}\} \leq \kappa^{\aleph_0}$.

Finalmente, $\kappa^{\aleph_0} = |H_\infty| \leq |H| = |H_\infty| + |H_{fin}| \leq \kappa^{\aleph_0} + \kappa^{\aleph_0} = \kappa^{\aleph_0}$, lo $|H| = \kappa^{\aleph_0}$ como se reivindica.

Añadido en respuesta a Sushil el comentario de abajo: a La inversa, que si $\kappa = \kappa^{\aleph_0}$ entonces existe un espacio de Hilbert de dimensión algebraica $\kappa$, es bastante inmediata. En efecto, supongamos $B$ es un conjunto de cardinalidad $\kappa$, y deje $V$ $\mathbb{C}$- espacio vectorial $V$ consta de formal $\mathbb{C}$-de las combinaciones lineales de elementos de $B$. Asignar a $V$ el único producto interior que hace que $B$ un ortonormales conjunto de $V$. Luego de la finalización de la $V$ con respecto a la norma del producto interior es un espacio de Hilbert $H$ cuya dimensión algebraica es $\kappa$. Esto es debido a que $B$ es una base ortonormales de $H$ (por la construcción de $H$), por lo que la demanda del primer párrafo de esta respuesta muestra que cualquier base de Hamel $H$ tiene cardinalidad $\kappa^{\aleph_0} = \kappa$.