¿El número de soluciones a $ax^2+bxy+cy^2\equiv u\pmod{p}$ , $(x,y)\in\{0,\dotsc,p-1\}$ , el mismo para todas las unidades $u$ ?

Question

Dejemos que $p$ sea un primo impar y $F={\mathbb Z}/p{\mathbb Z}$ . Con $a,b,c\in F$ , dejemos que $Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ donde $p\nmid b^2-4ac$ . Quiero demostrar que el número de soluciones $(x,y)\in F^2$ de $$ax^2+bxy+cy^2=u$$ es el mismo para todas las unidades $u\in F$ .

Por ejemplo, cuando $p=5$ la ecuación $x^2-2xy+3y^2=u$ tiene una solución cuando $u=0$ y 6 soluciones para cada uno de $u=1,2,3,4$ .

Answer 1

Lo siguiente funciona para cualquier campo finito $F$ . Consideremos la curva proyectiva $$C : ax^2 + bxy + cy^2 = uz^2.$$ Sus condiciones $b^2-4ac\in F^*$ y $u\in F^*$ implican que $C$ es no singular, ya que tiene grado $2$ el género de $C$ es $0$ y los métodos elementales (o no elementales) muestran que $C(F)\ne\emptyset$ Así que $C\cong\mathbb P^1_F$ donde el isomorfismo se define sobre $F$ . Por lo tanto, $$\#C(F) = \#\mathbb P^1(F) = |F|+1.$$ Así que la pregunta es si el punto o puntos en el infinito, es decir, los puntos con $z=0$ , están en $C(F)$ . Esto es claramente independiente de $u$ y depende de si $b^2-4ac$ es un cuadrado en $F$ . Por lo tanto, $$\#\bigl\{ (x,y)\in F : ax^2+bxy+cy^2=u\bigr\} = |F| - \left(\frac{b^2-4ac}{F}\right),$$ donde $$\left(\frac{A}{F}\right)=\begin{cases}1&\text{if $A\in{F^*}^2$,}\\ -1&\text{if $A\notin{F^*}^2$.}\\ \end{cases}$$

Answer 2

Inspirado por @JoeSilverman's respuesta He actualizado esta respuesta para manejar cualquier campo de características de impar $F$ y para eliminar algunas feas distinciones de caso del argumento original; pero sí asumo que la característica no es $2$ como @KConrad señala .

Poner $\theta = \dfrac{b + \sqrt{b^2 - 4a c}}2$ donde hemos elegido una raíz cuadrada de $b^2 - 4a c$ que no es igual a $-b$ (cualquiera de los dos, si $4a c \ne 0$ ).

Tenemos que $a x^2 + b x y + c y^2 = a x^2 + (\theta + a c\theta^{-1})x y + c y^2$ es igual a $(a x + \theta y)(x + c\theta^{-1}y)$ . Si $\theta$ pertenece a $F$ , entonces el cambio de variables $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & \theta \\ 1 & c\theta^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ es no singular (con determinante $a c\theta^{-1} - \theta = (a c - \theta^2)\theta^{-1} = \sqrt{b^2 - 4a c}$ ), por lo que estamos considerando soluciones $(x', y')$ de $x'y' = u$ que forman un $F^\times$ -torsor. (En particular, si $F$ es finito, entonces hay $\lvert F^\times\rvert$ de ellos).

Si, por el contrario, $\theta$ no pertenece a $F$ entonces $b^2 - 4a c$ no es un cuadrado en $F$ Así que $a$ no es $0$ . Entonces $a x^2 + bx y + cy^2$ es igual a $a^{-1}(a x + \theta y)(a x + a c\theta^{-1} y) = a^{-1}N_{F[\theta]/F}(a x + \theta y)$ por lo que la parametrización de las soluciones de $a x^2 + b x y + c y^2 = u$ es lo mismo que parametrizar las soluciones de $N_{F[\theta]/F}(a x + \theta y) = u a$ . Desde $(x, y) \mapsto a x + \theta y$ es un isomorfismo de $F$ -espacios vectoriales ( no de $F$ -algebras) $F \oplus F \to F[\theta]$ estamos parametrizando la fibra del mapa normativo sobre $u a$ . En general, por supuesto, las fibras son vacías o torsoras para $\ker N_{F[\theta]/F}$ y, si $F$ si es finito, para que el mapa normativo sea suryente, entonces todas las fibras son torsores, por lo tanto tienen tamaño $\lvert F[\theta]^\times\rvert/\lvert F^\times\rvert$ .

Answer 3

Dejemos que $F$ sea un campo finito, como $\mathbf Z/(p)$ pero podría ser un campo finito más general (incluso de característica $2$ y no necesariamente $\mathbf Z/(2)$ por lo que no haré un cambio de variables lineales utilizando la división por $2$ como en otra respuesta). Si ambos $a = 0$ y $c = 0$ entonces la ecuación se convierte en $bxy = u$ , por lo que necesariamente $b \not= 0$ desde $b^2 - 4ac = b^2$ y tú dijiste $b^2 - 4ac \not= 0$ . Una solución $(x,y)$ tiene ambas coordenadas no iguales a $0$ con $y = u/(bx)$ . Así, el conjunto de soluciones para cada $u \in F^\times$ es $\{(x,u/(bx)) : x \in F^\times\}$ cuyo tamaño es $|F| - 1$ .

Si $a \not= 0$ o $c \not= 0$ entonces por simetría (intercambiando los papeles de $x$ y $y$ en la ecuación) podemos suponer $a \not= 0$ . Entonces resolviendo $ax^2 + bxy + cy^2 = u$ es lo mismo que resolver $x^2 + (b/a)xy + (c/a)y^2 = u/a$ y como $u$ se pasa por encima $F^\times$ también lo hace $u/a$ . Por lo tanto, podemos suponer $a = 1$ : queremos contar las soluciones de $x^2 + bxy + cy^2 = u$ en $F^2$ . Establecer $R = F[t]/(t^2 + bt + c)$ un anillo finito. El mapa normativo ${\rm N}_{R/F} \colon R \to F$ es multiplicativa, y utilizando la base $\{1,t\}$ podemos realizar su expresión para $Q(x,y)$ como valor normativo: para $x, y \in F$ , $${\rm N}_{R/F}(x + yt) = \det\begin{pmatrix}x&-cy\\y&x-by\end{pmatrix} = x^2 - bxy + cy^2 = (-x)^2 + b(-x)y + cy^2.$$ Por lo tanto, la ecuación $x^2 + bxy + cy^2 = u$ es lo mismo que ${\rm N}_{R/F}(-x+yt) = u$ para $x, y \in F$ . En las unidades el mapa normativo ${\rm N}_{R/F} \colon R^\times \to F^\times$ es un homomorfismo de grupo, por lo que, como ocurre con todos los homomorfismos entre grupos finitos, todos los valores se toman un número igual de veces. Así pues, queda por demostrar que el mapa normativo ${\rm N}_{R/F} \colon R^\times \to F^\times$ es suryente.

Caso 1: $t^2 + bt + c$ es irreducible en $F[t]$ . Entonces $R$ es un campo, por lo que $R^\times$ es cíclico y el mapa normativo $R^\times \to F^\times$ en los elementos no nulos de los campos finitos es onto (si $|F| = q$ entonces $|R| = q^2$ y un generador de $R^\times$ se asigna a un generador de $F^\times$ ).

Caso 2: $t^2 + bt + c$ es reducible en $F[t]$ . Escríbalo como $(t-r)(t-s)$ . Desde $b^2 - 4c = (r-s)^2$ , de $b^2 - 4c \not= 0$ tenemos $r \not= s$ . Entonces $R \cong F[t]/(t-r) \times F[t]/(t-s) \cong F \times F$ y en la base $\{(1,0),(0,1)\}$ el mapeo de normas tiene la fórmula ${\rm N}_{R/F}(x,y) = xy$ que mapea $R^\times = F^\times \times F^\times$ en $F^\times$ .

Definitivamente quieres $b^2 - 4ac \not= 0$ ya que si $b^2 - 4ac = 0$ su conclusión deseada puede fallar. Como ejemplo sencillo, considere $Q(x,y) = x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ . Entonces la ecuación $Q(x,y) = u$ tiene soluciones en $F$ si $u$ es un cuadrado no nulo en $F$ y no tiene soluciones en $F$ si $u$ es un no cuadrado no nulo en $F$ . Cuando $F = \mathbf Z/(p)$ para impar $p$ (o más generalmente $F$ es un campo finito de característica impar), la mitad de $F^\times$ es cuadrada y la mitad no es cuadrada, por lo que la ecuación $(x+y)^2 = u$ para $u \in F^\times$ tiene soluciones para la mitad de los valores de $u$ .