Dada una superficie compacta de Riemann $X$ toda función holomorfa sobre $X$ es constante. Esto es obvio si se piensa en las funciones holomorfas como mapeos localmente conformes, es decir, transformaciones de $X$ en un plano que preserve localmente los ángulos ("similitudes infinitesimales"). Tal transformación es continua, por lo que tiene una imagen compacta, pero la imagen también es abierta, por lo que debe ser constante: colapsa $X$ en un punto. En otras palabras, el anillo $\mathcal{O}(X)$ de funciones holomorfas en $X$ se reduce a las constantes $\mathcal{O}(X) = \mathbb{C}$ .
Por eso, en la teoría de compacto superficies de Riemann, uno está interesado en funciones meromórficas es decir, las que tienen al menos un polo. Estas funciones constituyen un campo denotado por $\mathcal{M}(X)$ y pueden ser vistos como coberturas ramificadas $X \rightarrow \mathbb{S}^2$ de la esfera de Riemann / línea proyectiva compleja.
Se puede demostrar que siempre existen funciones meromórficas no constantes en $X$ (Teorema de existencia de Riemann). Esto significa que toda superficie compacta de Riemann es un recubrimiento ramificado de la esfera . Esto puede utilizarse para demostrar que el campo $\mathcal{M}(X)$ es una extensión de campo finito de $\mathcal{M}(\mathbb{S}^2) =\mathbb{C}(z)$ (este último campo es el de las funciones racionales = fracciones polinómicas).
Además, se puede demostrar que cada extensión finita de $\mathbb{C}(z)$ da lugar a una única superficie compacta de Riemann hasta isomorfismos, con la extensión dada como su campo de funciones meromorfas (teoría de Dedekind-Weber de campos de funciones algebraicas en una variable). Esta superficie compacta de Riemann puede realizarse siempre como una curva algebraica en el espacio proyectivo complejo $\mathbf{P}^3(\mathbb{C})$ (sin singularidades, naturalmente). Esto significa que es el conjunto de ceros de algunos polinomios homogéneos con coeficientes complejos, en el espacio proyectivo.
Una cuestión interesante es preguntarse cuando una superficie compacta de Riemann $X$ puede venir dada por una ecuación con coeficientes en $\overline{\mathbb{Q}}$ (el cierre algebraico de los racionales). Se sabe que este es el caso si y sólo si existe una función meromorfa $X \rightarrow \mathbb{S}^2$ con un máximo de tres valores críticos (Teorema de Belyi). Una función de este tipo es un recubrimiento de la esfera que se ramifica sobre tres puntos (o menos).
Así, el estudio de las superficies de Riemann compactas/curvas algebraicas planas lisas sobre los números algebraicos $\overline{\mathbb{Q}}$ se reduce al estudio de los recubrimientos de la esfera ramificados sobre tres puntos, que podemos suponer que son los puntos $0, 1, \infty$ .
Estas cubiertas ramificadas $f: X \rightarrow \mathbb{S}^2$ puede tener una representación geométrica. La fibra de $0$ es un conjunto finito de puntos en $X$ que pueden marcarse como puntos negros. Los puntos en la fibra de $1$ suelen ser de color blanco. La preimagen del intervalo $[0,1]$ (como una curva que une $0$ y $1$ ) viene dada por un conjunto de curvas que unen puntos blancos y negros, alternativamente. Este gráfico en $X$ formado por puntos negros, puntos blancos y curvas, es el dessin d'enfant asociado a la cobertura ramificada $f: X \rightarrow \mathbb{S}^2$ .
Es un hecho notable que la cubierta ramificada $f: X\rightarrow \mathbb{S}^2$ determina la estructura de la superficie de Riemann de $X$ (por pullback de la misma estructura en $\mathbb{S}^2$ ), por lo que las superficies compactas de Riemann sobre números algebraicos (con una determinada función meromórfica ramificada sobre a lo sumo tres puntos) no son más que superficies compactas orientables con ciertas gráficas en ellas (las gráficas asociadas a las coberturas ramificadas).
Ahora, Grothendieck estaba interesado en el grupo de Galois de $\overline{\mathbb{Q}}$ en $\mathbb{Q}$ que actúa sobre los coeficientes de la ecuación de una curva algebraica sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ , dando otra curva del mismo tipo. Considerando los postres asociados a esas curvas, ese grupo transforma entonces un postre en otro postre, y así, se puede utilizar para obtener una interpretación geométrica del grupo de Galois absoluto .
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¿Hay alguna manera de ver en cualquier geométrico ¿De qué manera las relaciones de barajado (satisfechas por valores multizeta) o los "automorfismos del asociador" (derivados del trabajo de Drienfeld sobre álgebras cuasi-Hopf) que aparecen en el conjunto más amplio de trabajos relacionados con los postres?
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@GeraldEdgar ¿Por qué?