Matrices equivalentes

Question

Dos matrices rectangulares de m por n son equivalentes si existe una matriz invertible de m por m P y una matriz invertible de n por n Q tales que PAQ=B. Si definimos la relación ~ como A~B si existe una matriz invertible m-por-m P y una matriz invertible n-por-n Q tales que PAQ=B. He podido demostrar que ~ es una relación de equivalencia. ¿Cómo encontrar las clases de equivalencia bajo esta relación y el número de clases de equivalencia con el uso del concepto básico de transformaciones de fila solamente?

Gracias

Answer 1

Con las transformaciones de fila, se puede encontrar para la matriz $A$ un matriz equivalente de la forma

$$\begin{pmatrix} I_k & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ où $I_k$ es la matriz de identidad de dimensión $k \le \inf(n,m)$ où $(m,n)$ son las dimensiones de la matriz inicial $A$ . $k$ es el rango de la matriz $A$ .

A partir de ahí, se obtiene que las clases equivalentes utilizando el concepto de transformaciones de fila son las matrices con un rango determinado.