Soy consciente de que la fórmula de las combinaciones es:
$$\binom{n}{r}=\frac{n!}{(n - r)! \:r!}$$
Esto me da los números que quiero para las combinaciones de una determinada longitud.
Sin embargo, en mi caso, necesito la suma de estos donde r pueden ser todos los valores entre 1 y n.
¿Existe una fórmula sencilla para esto (es decir, algo que se pueda poner en una hoja de cálculo)?
Por el teorema del binomio tenemos $$ \sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^rb^{n-r}=(a+b)^n $$ Poniendo $a=b=1$ da
$$ \sum_{r=1}^n\binom{n}{r}=2^n-1. $$
$n\choose r$ es el número de formas de elegir $r$ objetos fuera de $n$ .
Así, $\sum_{r=1}^n {n\choose r}$ que está buscando es el número de formas de elegir $1,2,\dots n$ artículos fuera de $n$ .
Para cada objeto, tenemos dos opciones, elegirlo o no elegirlo. Por lo tanto, hay $2^n$ opciones. Sin embargo tenemos que restar uno ya que no podemos elegir 0 objetos de $n$ .
En general, la respuesta que desea es $2^n-1$ . Se trata de un enfoque combinatorio.
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