¿Cómo puede la suma de una serie con $\sin(n\pi)$ como término multiplicativo no sea $0$ ?

Question

Estoy seguro de que estoy haciendo una tontería, pero esto me tiene realmente perplejo. Estoy haciendo PDEs y frecuentemente la integral de $\sin(x)\sin(nx)$ o la de $\cos(x)\cos(nx)$ se producirá. Cuando los límites son $0$ a $\pi$ No entiendo cómo ambos no son $0$ para cualquier $n$ . Usted obtendría $-\frac{\sin(\pi n)}{n^2-1}$ para el primero, y $-\frac{n\sin(\pi n)}{n^2-1}$ para el segundo. A mí me parece que estos términos deberían ser $0$ para cada valor entero de $n$ pero ese no es el caso. La serie infinita para ambos es $\frac{\pi}{2}$ . ¿Cómo?

Para aclarar la pregunta, lo que no puedo entender es la segunda igualdad aquí: $$\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^\pi \sin(x)\sin(nx)dx=\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{\sin(\pi n)}{n^2-1}=\frac{\pi}{2}.$$

Answer 1

Observe que

$$\frac{\sin(n\pi)}{n^2 -1}$$

no se define cuando $n=1$ y algo similar para su otra expresión. Sí, $\sin(n\pi) = 0$ pero con el $n^2-1$ cuando $n=1$ , se obtiene un $0/0$ expresión.

Tendrá que hacer algo para manejar el $n=1$ caso específicamente como resultado, por ejemplo, encontrar $\int_0^\pi \sin^2(x) \, d x$ en su lugar.