Congruencia cuadrático para cada primer

Question

Que $p$ ser un número primo. Demostrar que existe $a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $p|a^2+b^2+1$. Lo que he probado:

Si $p \equiv 1 \mod 4$, ponemos $b=0$ y la condición es simplemente $a^2 \equiv -1 \mod p$ que tiene una solución por la reprocidad cuadrática básica.

Si $p \equiv 3 \mod 4$, no veo nada sencillo que podría funcionar y algunos ejemplos no muestran ningún patrón aparente ($7|3^2+2^2+1,$ $19|6^2+1^2+1$ $23 | 6^2+3^2+1$, etc..)

Gracias.

Answer 1

El resultado es obvio para $p=2$, y como usted señala es sencillo para los números primos de la forma $4k+1$. Pero nos dan una prueba de que funciona para todos los impares, números primos.

Deje $A$ el conjunto $\left\{0^2,1^2,2^2,\dots, \left(\frac{p-1}{2}\right)^2\right\}$. Deje $B$ el conjunto $\left\{-1-0^2, -1-1^2, -1-2^2, \dots, -1-\left(\frac{p-1}{2}\right)^2\right\}$.

Es fácil demostrar que cualquiera de los dos elementos de $A$ son incongruentes modulo $p$, como son los dos elementos de la $B$.

Pero el número de elementos de a$A$$\frac{p-1}{2}+1$, como es el número de elementos de a $B$.

La suma de los tamaños de $A$$B$$p+1\gt p$. Por lo tanto, por el Principio del Palomar existen $x\in A$, $y\in B$ tal que $x\equiv y\pmod{p}$.

De ello se desprende que hay un $a$ $b$ tal que $a^2\equiv -1-b^2\pmod{p}$. Esto es lo que queríamos demostrar.