Utilizando $x=r\cos{\theta}$ , $y=r\sin{\theta}$ encontrar la solución singular de la ecuación diferencial $$x+py=(x-y)\sqrt{p^2+1}$$ , $p=\frac{dy}{dx}$ .
No sé cómo resolver este problema. Por favor, ayúdeme.
Respuesta
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Narasimham
Puntos
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Podemos adoptar $p$ método discriminante
$$x+py=(x-y)\sqrt{p^2+1} \tag1 $$
cuadrando
$$x^2+2pxy+p^2y^2=(x-y)^2(1+p^2)\tag2$$
diferenciar parcialmente con respecto a $p$ y simplificar
$$ y =(x-y) \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\tag3$$
$$p=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y}{(x-2y)}\tag4$$
Eliminar $p$ entre 1) y 4) para simplificar,
$$ y= x/2 \tag5$$
que es la solución singular o envolvente de las curvas dadas por la ecuación diferencial dada.
Por cierto, el uso de coordenadas polares no parece tener ninguna ventaja especial.
EDIT1:
Aparentemente hay una ventaja si tomamos
$$ u= y/x \tag6$$
variable independiente en el método anterior.
$$(1+pu)= (1-u)\sqrt{1+p^2} \tag7 $$
Diferenciar parcialmente con respecto a $p$
$$ \frac{u}{1-u} = \frac{p}{\sqrt{1+p^2}}$$
$$ p=\frac{u}{1-2u}\tag8 $$
Introduce lo anterior en 7) y simplifica
$$ (1-2u) = (\pm (1-u)^3-u^2)^2 \tag9 $$
una ecuación de sexto orden en $u=y/x$
no parece coincidir con el primer resultado... lo publico sin embargo.
